Chủ đề này có 11 trả lời

[anhquannbk]

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

Câu 1:

a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy tính giá trị biểu thức $A=(\sqrt{26}+5\sqrt{2})\sqrt{19-5\sqrt{13}}$

b) Cho biểu thức $B=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}- \dfrac{3x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$.

Rút gọn $B$ và tìm $x$ để $B=1$.

Câu 2:

a) Cho parabol $(P)$ : $y=ax^2 $. Tìm hệ số $a$ để đường thẳng $(d): y=2 $ cắt $(P)$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho tam giác $AOB$ vuông.

b) Tìm tham số $m$ để phương trình $x^2+(m-2)x-(m-1)(2m-3)=0$ có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia.

Câu 3:

a) Giải phương trình $(\sqrt{x-3}+2)^2 +x=3$

b) Giải hệ phương trình 

$ \left\{\begin{matrix} & \dfrac{1}{x-2} +\dfrac{3}{y+1}=-2 \\ &\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{2}{y+1}=7 \end{matrix}\right.$

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ ($AB>AC$) ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn

$(I)$ với các cạnh $BC, AC, AB$. Các đường thẳng $DE, DF$ lần lượt cắt tia $AI$ tại $K$ và $L$, gọi $H$ là chân đường cao

hạ từ $A$ xuống $BC$.

a) Giả sử $\angle BAC= a^0$, tính số đo $\angle BIC$ theo $a$.

b) Chứng minh $BK \parallel EF$

c) Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh tứ giác $KMLH$ nội tiếp.

Câu 5:

Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $0<x \le 1$, $0<y \le 1$ và $x+y=3xy$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2-4xy$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 11-06-2016 - 17:40

[I Love MC]

Câu 5 : $P=x^2+y^2-4xy=(x+y)^2-6xy=9(xy)^2-6xy $ 
$x+y=3xy \ge 2\sqrt{xy}$ 
Suy ra $xy \ge \frac{4}{9}$ 
$t=xy$ 
Ta chứng minh $P \ge \frac{-8}{9} \Leftrightarrow (3t-\frac{4}{3})(3t-\frac{2}{3}) \ge 0$ (đúng với $t \ge \frac{4}{9}$ ) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 08-06-2016 - 16:32

[kimchitwinkle]

Câu 3

a/ $ĐK : x\geq 3$

Đặt $\sqrt{x-3}=a\left ( a\geq 0 \right )$

PT <=> $(a+2)^{2}=-a^{2}$ ( vô lí )

Vậy PTVN

b/ $Đk : x\neq 2;y\neq -1$

Đặt $\frac{1}{x-2}=a;\frac{1}{y+1}=b$

Hệ <=> $\left\{\begin{matrix} a+3b=-2 & & \\ 5a-2b=7& & \end{matrix}\right.$

Đến đây tìm a,b rồi thay vào tìm x,y

[nntien]

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ ($AB>AC$) ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn

$(I)$ với các cạnh $BC, AC, AB$. Các đường thẳng $DE, DF$ lần lượt cắt tia $AI$ tại $K$ và $L$, gọi $H$ là chân đường cao

hạ từ $A$ xuống $BC$.

a) Giả sử $\angle BAC= a^0$, tính số đo $\angle BIC$ theo $a$.

b) Chứng minh $BK \parallel EF$

c) Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh tứ giác $KMLH$ nội tiếp.

a. Xét tam giác BIC, ta có $\angle BIC = 180^0 - \frac{\angle ABC+\angle ACB}{2} = 90^0 + \frac{a^0}{2}$

b. Ta dễ thấy AK vuông góc với EF (1),

$\angle BIK =\frac{\angle ABC+\angle BAC}{2} $

Xét tam giác cân CED ta có: $\angle EDC = 90^0 - \frac{\angle ACB}{2} =  \frac{\angle ABC+\angle BAC}{2} $

=> $\angle BIK = \angle EDC = \angle BDK $ => BIDK nội tiếp => BK vuông góc với AK (2)

Từ (1), (2) => BK//EF.

c. Tương tự ta cũng chứng minh được LC vuông góc với AK => CHLA nội tiếp => $\angle MHL = \ LAC$ (1)

Kẻ đường tròn (ABC), AI cắt (ABC) tại S => MS vuông góc với BC, mà BK vuông góc với SK

=> BMKS nội tiếp => $\angle MKL = \angle SBM = \angle LAC$ (2). Từ (1), (2) => đpcm.

Hình gửi kèm

• 

[minhnhattdn]

Câu 5 : $P=x^2+y^2-4xy=(x+y)^2-6xy=9(xy)^2-6xy $ 
$x+y=3xy \ge 2\sqrt{xy}$ 
Suy ra $xy \ge \frac{4}{9}$ 
$t=xy$ 
Ta chứng minh $P \ge \frac{-8}{9} \Leftrightarrow (3t-\frac{4}{3})(3t-\frac{2}{3}) \ge 0$ (đúng với $t \ge \frac{4}{9}$ ) 

bạn ơi còn giá trị lớn nhất sao bạn?

[chieckhantiennu]

 

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ ($AB>AC$) ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn

$(I)$ với các cạnh $BC, AC, AB$. Các đường thẳng $DE, DF$ lần lượt cắt tia $AI$ tại $K$ và $L$, gọi $H$ là chân đường cao

hạ từ $A$ xuống $BC$.

a) Giả sử $\angle BAC= a^0$, tính số đo $\angle BIC$ theo $a$.

b) Chứng minh $BK \parallel EF$

c) Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh tứ giác $KMLH$ nội tiếp.

Câu 5:

Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $0<x \le 1$, $0<y \le 1$ và $x+y=3xy$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2-4xy$

Câu 5.

Ta có: $P=x^2+y^2-4xy=(x+y)^2-6xy=9x^2y^2-6xy=(3xy-1)^2-1$

$x,y \in (0;1] \Rightarrow (1-x)(1-y) \ge 0\Leftrightarrow 1+xy\ge x+y=3xy\Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{2}$

$x,y \in (0;1] \Rightarrow3xy=x+y\ge 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy \ge \dfrac{4}{9}$ 

vậy $xy \in [\dfrac{4}{9};\dfrac{1}{2}]  \Rightarrow (3xy-1)\in [\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}] \Rightarrow (3xy-1)^2 \in [\dfrac{1}{9};\dfrac{1}{4} \Rightarrow P= (3xy-1)^2-1 \in [\dfrac{-8}{9};\dfrac{-3}{4} ]$ 

Vậy: $max_P=\dfrac{-3}{4}$ khi $(x;y)=(1;\dfrac{1}{2});(\dfrac{1}{2};1)$   

$min_P=\dfrac{-8}{9}$ khi $x=y=\dfrac{2}{3}$.

Câu 4.

b)   Ta có: $\widehat{BIK}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=90^o-\dfrac{\widehat{C}}{2}$

$\widehat{KDB}=\widehat{CDE}=90^o-\dfrac{\widehat{C}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BIK}=\widehat{KDB} \Rightarrow IDKB$ nội tiếp

 $\Rightarrow \widehat{IKB}=90^o$ hay $AK \perp KB$ mà AK cũng vuông góc EF nên $AK||EF$.

Từ đó dễ chứng minh được $AHKB$ nội tiếp.

c) Gọi N là trung điểm AB.

Do $\widehat{AKB}=90^o \Rightarrow AN=NB=NK \Rightarrow \widehat{NKA}=\widehat{NAK}=\widehat{KAB} (1)$

$\Rightarrow NK||AC$, mà $MN||AC$ (đường trung bình) nên K,M,N thẳng hàng.

Mặt khác: $\widehat{KAB}=\widehat{KHB}(2)$ ($AHKB$ nội tiếp )

Từ (1), (2) $\Rightarrow \widehat{NKA}=\widehat{KHB}$ hay $\widehat{MKL}=\widehat{KHM}$

$\Rightarrow đpcm$ 

Hình gửi kèm

• 

[nntien]

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ ($AB>AC$) ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn

$(I)$ với các cạnh $BC, AC, AB$. Các đường thẳng $DE, DF$ lần lượt cắt tia $AI$ tại $K$ và $L$, gọi $H$ là chân đường cao

hạ từ $A$ xuống $BC$.

a) Giả sử $\angle BAC= a^0$, tính số đo $\angle BIC$ theo $a$.

b) Chứng minh $BK \parallel EF$

c) Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh tứ giác $KMLH$ nội tiếp.

Thêm một câu nữa trong bài 4 này:

d. Đường thẳng AI cắt BC, (ABC) lần lượt tại X, S. Đường thẳng AM cắt (ABC) tại Y. CMR: $SX \geq MY$ 

[lehakhiem212]

có ai giúp em câu 5b không

Hình gửi kèm

• 

[the unknown]

Câu 6: Vì $0<a,b,c\leq 1$ nên ta có $(1-a)(1-b)\geq 0\Leftrightarrow 1+ab\geq a+b\Leftrightarrow c+abc\geq ac+bc$ ( do $c>0$ và $0<a,b\leq 1$)

Tượng tự ta được các bất đẳng thức:

                                     $b+abc\geq ab+bc$

                                     $a+abc\geq ac+ab$

Cộng các bất đẳng thức này ta được: $a+b+c+3abc\geq 2(ab+bc+ca)$

Vậy bài toán được chứng minh.

[Baoriven]

Câu 2:a)

 Đặt $a=\sqrt{2x^2+1},b=2x,(a\geq 1)$

Ta có phương trình tương đương $(a-b)(a+1)=0$

Loại a+1=0

Suy ra a=b

Vậy $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 09-06-2016 - 15:25

[Baoriven]

Câu 2b):

y=0 không thỏa

y khác 0

Từ hệ phương trình ta có:

$x+y=9-\frac{x^2+y}{y}=7+\frac{y}{x^2+2}\Rightarrow 9-t=7+\frac{1}{t}$

Với $t=\frac{x^2+2}{y}$

Từ đây giải tiếp .... ra được: x=2;y=6 hoặc x=-3;y=11

[nntien]

có ai giúp em câu 5b không

Bài 5: - chuyên

a. ACBE nội tiếp => $\angle AEC = \angle ABC$ (1)

Mặt khác CHMB nội tiếp => $\angle HBC = \angle HMC$ (2).

Từ (1), (2) => đpcm

b. Gọi $K$ là giao điểm $AE$, $CD$. Ta có $AC=AD$ => $AE$ là phân giác góc $CED$ => tam giác $NDM$ cân tại $N$.

Gọi I là giao điểm của NE, DM.

Theo câu a => $\frac{HK}{HD}=\frac{IM}{DM}=\frac{ME}{ME+ED}$, mà: $\frac{HK}{HC}=\frac{ME}{MC}$

=> $ME+ED=MC$ (3)

Trên tia đối tia DE lấy điểm Q sao cho $QD=DE$, trên đoạn CM lấy điểm P sao cho $ME = MP$ => $DM$ là đường trung bình của tam giác $EPQ$

Xét hai tam giác $QAD$ và $PAC$ ta có $AC=AD$, $\angle QDA=\angle ACP$, Theo (3) => $QD=DE=CM-ME=CM-PM=CP$

=> $\triangle QAD = \triangle PAC$ (c-g-c). => tam giác APQ cân  và $\angle APC =\angle AQD$ => AQEP nội tiếp

=> $\angle QAP = \angle DNM$ => tam giác cân QAP đồng dang với tam giác cân DNM. Mà DM//QP => NM//AP

=> MN là đường trung bình của tam giác AEP => đpcm. 

Hình gửi kèm

•