Chủ đề này có 1 trả lời

[Supermath98]

Cho 3 số thức dương a;b;c thỏa mãn a+b+c=1 và a+b>2c.

Tìm MIN: 

$\large P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(a+b)}$

[tungteng532000]

Cho 3 số thức dương a;b;c thỏa mãn a+b+c=1 và a+b>2c.

Tìm MIN: 

$\large P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(a+b)}$

Áp dụng bđt Holder, ta có:
$(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})^2(a^2(b+c)+b^2(c+a))\geq (a+b)^3$
Mà $ab(a+b)+c(a^2+b^2)-\frac{(a+b)^3}{4}-\frac{c(a+b)^2}{2}=-\frac{(a-b)^2(a+b-2c)}{4}\leq 0$
Do đó $(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})^2\geq \frac{(a+b)^3}{\frac{(a+b)^3}{4}+\frac{c(a+b)^2}{2}}=\frac{4(a+b)}{a+b+2c}$
$\Rightarrow P\geq 2\sqrt{\frac{a+b}{a+b+2c}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(a+b)}=2\sqrt{\frac{1-c}{1+c}}+\frac{6\sqrt{15}}{25(1-c)}$
Ta có: $f'(c)=\frac{-2}{\sqrt{(1-c^2)}(1+c)}+\frac{6\sqrt{15}}{25(1-c)^2}=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{4}$ và hệ số của c dương
Do đó $P\geq f(\frac{1}{4})=\frac{18\sqrt{15}}{25}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{3}{8},c=\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 08-06-2016 - 23:43