Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 09-06-2016 - 05:08

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr: $\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\le \sqrt[3]{\frac{a(a+b)(a+b+c)}{6}}$

Bài 2: Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge 1$


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2 Nguyenngoctu

Nguyenngoctu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Giang City
  • Sở thích:Và khi chúng ta yêu nhau, chẳng kẻ thù nào làm tim ta yếu mềm

Đã gửi 09-06-2016 - 05:34

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr: $\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\le \sqrt[3]{\frac{a(a+b)(a+b+c)}{6}}$

Bài 2: Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge 1$

Bài 2.

Ta có $$\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} \Leftrightarrow \sum {\frac{1}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + \frac{b}{a} + 1}}} \ge 1$$. Đặt $$x = \frac{b}{a},y = \frac{c}{b},z = \frac{a}{c}$$. Ta cần chứng minh $$\frac{1}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{{y^2} + y + 1}} + \frac{1}{{{z^2} + z + 1}} \ge 1$$ với xyz=1. Đặt $$x = \frac{{uv}}{{{w^2}}},y = \frac{{vw}}{{{u^2}}},z = \frac{{wu}}{{{v^2}}}$$. Ta cần chứng minh $$\frac{1}{{{{\left( {\frac{{uv}}{{{w^2}}}} \right)}^2} + \frac{{uv}}{{{w^2}}} + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{vw}}{{{u^2}}}} \right)}^2} + \frac{{vw}}{{{u^2}}} + 1}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{wu}}{{{v^2}}}} \right)}^2} + \frac{{wu}}{{{v^2}}} + 1}} \ge 1 \Leftrightarrow \sum {\frac{{{w^4}}}{{{u^2}{v^2} + uv{w^2} + {w^4}}}} \ge 1$$.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $$\sum {\frac{{{w^4}}}{{{u^2}{v^2} + uv{w^2} + {w^4}}}} \ge \frac{{{{\left( {\sum {{u^2}} } \right)}^2}}}{{\sum {{u^4}} + \sum {{u^2}{v^2}} + uvw\sum u }} = \frac{{\sum {{u^4}} + 2\sum {{u^2}{v^2}} }}{{\sum {{u^4}} + \sum {{u^2}{v^2}} + uvw\sum u }} \ge 1$$. Đúng do $$\sum {{u^2}{v^2}} \ge uvw\sum u $$.



#3 Nguyenngoctu

Nguyenngoctu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ha Giang City
  • Sở thích:Và khi chúng ta yêu nhau, chẳng kẻ thù nào làm tim ta yếu mềm

Đã gửi 09-06-2016 - 05:37

Bài này còn 2 cách giải nữa cũng rất hay, và bài toán tổng quát của nó là $$\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + \lambda ab + {b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + \lambda bc + {c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + \lambda ca + {a^2}}} \ge \frac{3}{{\lambda + 2}}$$. Với $$a,b,c,\lambda $$ là các số dương. Tôi chỉ chứng minh được một trường hợp nhỏ là $$\lambda \ge 2$$. Bạn nào chứng minh được trong trường hợp tổng quát thì post lên nhé!



#4 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1758 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=2Hw2catzrtU}{Đây}$

Đã gửi 09-06-2016 - 05:42

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr: $\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3}\le \sqrt[3]{\frac{a(a+b)(a+b+c)}{6}}$
Bài 2: Cho 3 số thực dương $a,b,c$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge 1$

Ta có: $\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge 1$
$\iff \sum (\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{\sum a^2+\sum ab})\ge 1-\frac{a^2+b^2+c^2}{\sum a^2+\sum ab}$
Hay $\sum \frac{a^2[c(a+b+c)]}{a^2+ab+b^2}\ge ab+bc+ca$
$\iff \sum \frac{a^2c}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
Áp dụng BDT $BCS$ ta có:
$\sum \frac{ca^2}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{a^2c^2}{c(a^2+ab+b^2)}\ge \frac{(ab+bc+ca)^2}{\sum c(a^2+ab+b^2)}=\frac{(ab+bc+ca)^2}{(ab+bc+ca)(a+b+c)}=\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$(dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 11-06-2016 - 07:11

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh