Chủ đề này có 4 trả lời

[IHateMath]

Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$. Gọi $h$ là ước chung lớn nhất của $x,y,z$.

Chứng minh rằng $h(y-x)$ và $hxyz$ là các số chính phương.

[Minhnguyenthe333]

Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$. Gọi $h$ là ước chung lớn nhất của $x,y,z$.

Chứng minh rằng $h(y-x)$ và $hxyz$ là các số chính phương.

Ta có $h$ là ước của $x,y,z$ nên tồn tại $a,b,c$ nguyên dương $(c>b>a$ và tồn tại 1 cặp số nguyên tố cùng nhau$)$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}x=ah\\y=hb \\z=hc\end{matrix}\right.$

Khi đó: $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}<=>\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $(1)$

$h(y-x)=h^2(b-a)=\frac{h^2b^2}{b+c}$ và $hxyz=h^4abc=h^4a^2(b+c)$

$=>$ Ta chỉ cần chứng minh $b+c$ là số chính phương

Gọi $d=(a,b)$ và $d'=(a,c)$ suy ra $d=1$ hoặc $d'=1$

Do tính chất đối xứng nên ta giả sử $d=1$

$=>(1)<=>c=a+\frac{ac}{b}<=>b\mid c$ (do $(a,b)=1$)

 

Áp dụng bổ đề sau: Với phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ và $x\mid y$

Đặt $d=(x,k):$

$i)$ Nếu $d=1$ thì $y=x(x-1)$

$ii)$ Nếu $d\geqslant 2$ thì $y=\frac{xk}{d}$ và $k+d=x$
Chứng minh bổ đề: 

Spoiler

 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ $(1)$

Giả sử $y> x$ 

$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>y\vdots x<=>y=ax$ $(a\in \mathbb{N^*})$

 

$<=>\frac{1}{x}+\frac{1}{ax}=\frac{1}{k}<=>\frac{a+1}{a}=\frac{x}{k}$ $(2)$

 

Do $(a+1,a)=1$ nên xảy ra 2 trường hợp:

Đặt $d=(x,k):$

$TH1: d=1<=>a+1=x$ và $a=k$ $<=>y=(x-1)x\vdots 2$

 

$TH2: d\geqslant 2<=>x=dn$ và $k=dt$ ( với $n,t$ nguyên dương và $(n,t)=1$)

 

$=>\frac{a+1}{a}=\frac{n}{t}<=>a=t$ và $a+1=n$ $<=>t=n-1$

 

$<=>x=dn$ và $k=d(n-1)$

 

$<=>y=ax=adn$

 

Thay vào $(1)$ suy ra $\frac{1}{dn}+\frac{1}{adn}=\frac{1}{d(n-1)}<=>a=n-1$

 

$=>y=x(n-1)=x(\frac{x}{d}-1)=\frac{x(x-d)}{d}$

 

Thay vào $(2)$ suy ra $k=\frac{x(n-1)}{n}$

mà $x=dn$ nên $k=x-d<=>x=d+k$

 

$=>y=\frac{xk}{d}$ 

Do $d=1$ nên $b\mid c<=>c=b(b-1)<=>b+c=b^2$ là số chính phương (đpcm)

P/s: Nếu $d'=1$ (tức là khi $b>c$) thì ta xét trường hợp tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 09-06-2016 - 15:10

[the unknown]

Một hướng làm khác.

Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$. Gọi $h$ là ước chung lớn nhất của $x,y,z$.

Chứng minh rằng $h(y-x)$ và $hxyz$ là các số chính phương.

Đặt $x=ha,y=hb,z=hc$ ( $a,b,c\in \mathbb{N};a,b,c\geq1$; $(a,b,c)=1$) thì ta có: $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Ta sẽ chứng minh rằng $b-a$ và $abc$ là các số chính phương.

Trước hết ta có bổ đề:

Bổ đề: Nếu $(a,b)=1,b>a$ thì $(ab,b-a)=1$

Chứng minh: Giả sử phản chứng rằng $(ab,b-a)=d>1$ thì khi đó tồn tại số nguyên tố $p\geq 2$ để $p\mid ab$ và $p\mid b-a$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p\mid a$ hoặc $p\mid b$ và do $p\mid b-a$ suy ra $p\mid a$ và $p\mid b$ nên $(a,b)\geq p>1$ vô lí, vậy bổ đề được chứng minh.

Quay lại bài toán, giả sử $(a,b)=d$ và đặt $a=da',b=db'$ ( $(a',b')=1$). Khi đó ta có: $b-a=\frac{ab}{c}\Leftrightarrow b'-a'= \frac{da'b'}{c}$.

Mặt khác do $(c,d)=1$ vì nếu $(c,d)=k>1$ thì $k\mid c$ và $k\mid d\mid a,b$ nên $(a,b,c)\geq k>1$ vô lí với điều giả sử ở trên. Do đó $c\mid a'b'$ và do đó $b'-a'=\frac{a'b'}{c}.d\geq d$.

Mặt khác do $\frac{a'b'}{c}\mid a'b'$ và $(a'b',b'-a')=1$ nên $(\frac{a'b'}{c},b'-a')=1$ nên $d\mid b'-a'$ suy ra $d\geq b'-a'$. Kết hợp với trên suy ra $d=b'-a'$.

Vậy $b-a=d(b'-a')=d^2$ là số chính phương và $abc=(b-a)c^2$ cũng sẽ là một số chính phương.

Như vậy ta sẽ có $h(y-x)=h^2(b-a)$ là một số chính phương và $hxyz=h^4abc$ cũng là một số chính phương.

Vậy bài toán được chứng minh.

Spoiler

Ta có $h$ là ước của $x,y,z$ nên tồn tại $a,b,c$ nguyên dương $(c>b>a$ và tồn tại 1 cặp số nguyên tố cùng nhau$)$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}x=ah\\y=hb \\z=hc\end{matrix}\right.$

Khi đó: $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}<=>\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $(1)$

$h(y-x)=h^2(b-a)=\frac{h^2b^2}{b+c}$ và $hxyz=h^4abc=h^4a^2(b+c)$

$=>$ Ta chỉ cần chứng minh $b+c$ là số chính phương

Gọi $d=(a,b)$ và $d'=(a,c)$ suy ra $d=1$ hoặc $d'=1$

Do tính chất đối xứng nên ta giả sử $d=1$

$=>(1)<=>c=a+\frac{ac}{b}<=>b\mid c$ (do $(a,b)=1$)

 

Mình nghĩ bạn hiểu hơi sai ở chỗ này, từ giả sử $(a,b,c)=1$ không có nghĩa là trong ba số $a,b,c$ có hai số nguyên tố cùng nhau. Mình lấy ví dụ như một bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn là $(6;15;10)$ thỏa mãn mà không có hai số nào nguyên tố cùng nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 09-06-2016 - 15:33

[Minhnguyenthe333]

Một hướng làm khác.

Đặt $x=ha,y=hb,z=hc$ ( $a,b,c\in \mathbb{N};a,b,c\geq1$; $(a,b,c)=1$) thì ta có: $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Ta sẽ chứng minh rằng $b-a$ và $abc$ là các số chính phương.
Trước hết ta có bổ đề:
Bổ đề: Nếu $(a,b)=1,b>a$ thì $(ab,b-a)=1$
Chứng minh: Giả sử phản chứng rằng $(ab,b-a)=d>1$ thì khi đó tồn tại số nguyên tố $p\geq 2$ để $p\mid ab$ và $p\mid b-a$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p\mid a$ hoặc $p\mid b$ và do $p\mid b-a$ suy ra $p\mid a$ và $p\mid b$ nên $(a,b)\geq p>1$ vô lí, vậy bổ đề được chứng minh.
Quay lại bài toán, giả sử $(a,b)=d$ và đặt $a=da',b=db'$ ( $(a',b')=1$). Khi đó ta có: $b-a=\frac{ab}{c}\Leftrightarrow b'-a'= \frac{da'b'}{c}$.
Mặt khác do $(c,d)=1$ vì nếu $(c,d)=k>1$ thì $k\mid c$ và $k\mid d\mid a,b$ nên $(a,b,c)\geq k>1$ vô lí với điều giả sử ở trên. Do đó $c\mid a'b'$ và do đó $b'-a'=\frac{a'b'}{c}.d\geq d$.
Mặt khác do $\frac{a'b'}{c}\mid a'b'$ và $(a'b',b'-a')=1$ nên $(\frac{a'b'}{c},b'-a')=1$ nên $d\mid b'-a'$ suy ra $d\geq b'-a'$. Kết hợp với trên suy ra $d=b'-a'$.
Vậy $b-a=d(b'-a')=d^2$ là số chính phương và $abc=(b-a)c^2$ cũng sẽ là một số chính phương.
Như vậy ta sẽ có $h(y-x)=h^2(b-a)$ là một số chính phương và $hxyz=h^4abc$ cũng là một số chính phương.
Vậy bài toán được chứng minh.

Spoiler

Mình nghĩ bạn hiểu hơi sai ở chỗ này, từ giả sử $(a,b,c)=1$ không có nghĩa là trong ba số $a,b,c$ có hai số nguyên tố cùng nhau. Mình lấy ví dụ như một bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn là $(6;15;10)$ thỏa mãn mà không có hai số nào nguyên tố cùng nhau.

trường hợp mình làm là $h\geqslant 2$

[the unknown]

trường hợp mình làm là $h\geqslant 2$

À không, ý mình là nếu theo cách đặt $x=ha,y=hb,z=hc$ thì ước chung lớn nhất của cả ba số $a,b,c$ là $1$ chứ không có nghĩa là trong $a,b,c$ có hai số nguyên tố cùng nhau như bạn nói. Lấy ví dụ $a=6,b=10,c=15$ là thấy rõ. Hơn nữa nếu theo bạn thì $b\mid c$ thì $y\mid z$, nếu lấy bộ số trên của mình và $h\geq 2$ như trường hợp của bạn thì ta lấy bộ số $x=6h,y=10h,z=15h$. Nhưng như vậy thì hiển nhiên $z$ không chia hết cho $y$. Vậy mình thấy có gì đó không ổn cho lắm. Mình nghĩ sẽ hoàn chỉnh hơn nếu bạn xét cả điều kiện hai số $b$ và $c$ không chia hết cho nhau vì trường hợp của bạn mới là một trường hợp nhỏ thôi.