Chủ đề này có 1 trả lời

[Tuanhd]

Biết một đa thức bậc n mà có n nghiệm x₁; x₂; ...; x_n thì phải có dạng a(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n) (a là số thực khác 0). Cho đa thức f(x) có bậc 2014 thỏa mãn f(k) =-2/k với mọi k là số nguyên dương không vượt qua 2015. Tính f(2016)

[thanhan2003]

Xét đa thức $p(x)=xf(x)+2$

Vì $f(x)$ có bậc 2014 => $p(x)$ có bậc 2015

Đồng thời, $f(x)=\frac{p(x)-2}{x}=\frac{p(x)}{x}-\frac{2}{x}$

Với $x=k=1;2;3;...;2015$ ta có:

$f(k)=\frac{p(k)}{k}-\frac{2}{k}$ mà $f(k)=\frac{-2}{k}$ $=>\frac{p(k)}{k}=0$ $= >p(k)=0$

$=>p(1)=p(2)=p(3)=...=p(2015)$=> $p(x)$ có 2015 nghiệm $x=1; x=2; x=3; ...; x=2015$

mà $p(x)$ có bậc 2015 $=>p(x)=q.(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2015)$

Tại $x=0$ ta có: $p(0)=0f(0)+2=2$

mà $p(0)=q.(0-1)(0-2)(0-3)...(0-2015)=q.(-2015!)$

$=> q.(-2015!)=2=>q=$$\frac{-2}{2015!}$

$=> p(x)=\frac{-2}{2015!}.(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2015)$

$=> p(2016)=\frac{-2}{2015!}.(2016-1)(2016-2)...(2016-2015)=-2$

$f(2016)=\frac{p(2016)-2}{2016}=\frac{-2-2}{2016}=\frac{-4}{2016}=\frac{-1}{504}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhan2003: 27-06-2018 - 10:29