Chủ đề này có 3 trả lời

[I Love MC]

Cho $a,b,c>0$ chứng tỏ : $(ab+c^2)(bc+a^2)(ca+b^2) \ge abc(a+b)(b+c)(a+c)$ 

[the unknown]

Phân tích "trâu" một xíu  :

Ta chứng minh $(ab+c^2)(bc+a^2)\geq ac(a+b)(b+c)\Leftrightarrow b(c^3+a^3)\geq b(a^2c+c^2a)\Leftrightarrow b(c-a)^2(c+a)\geq 0$ ( hiển nhiên đúng do $a,b,c>0$ ).

Tương tự ta cũng được:

                $(bc+a^2)(ca+b^2)\geq ab(a+c)(b+c)$.

                $(ab+c^2)(ca+b^2)\geq bc(a+b)(a+c)$.

Và nhân ba bất đẳng thức ở trên ta được: $(\prod (ab+c^2))^2\geq (abc\prod (a+b))^2$.

Và do $a,b,c>0$ ta suy ra được: $\prod (ab+c^2)\geq abc\prod (a+b)$.

Vậy bài toán được chứng minh.

[Chris yang]

Cho $a,b,c>0$ chứng tỏ : $(ab+c^2)(bc+a^2)(ca+b^2) \ge abc(a+b)(b+c)(a+c)$ 

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz

$(ab+c^2)\left ( \frac{a}{b}+1 \right )\geq (a+c)^2$

Tương tự cũng có $(bc+a^2)\left ( \frac{b}{c}+1 \right )\geq (b+a)^2$ và $(ca+b^2)\left ( \frac{c}{a}+1 \right )\geq (b+c)^2$

Nhân theo vế ta có đpcm

[KietLW9]

Cho $a,b,c>0$ chứng tỏ : $(ab+c^2)(bc+a^2)(ca+b^2) \ge abc(a+b)(b+c)(a+c)$ 

Ta có: $(ab+c^2)(bc+a^2)=ab^2c+b(a^3+c^3)+a^2c^2\geqslant ab^2c+abc(a+c)+a^2c^2=abc(a+b+c)+a^2c^2=ac(b^2+ab+bc+ca)=ca(a+b)(b+c)$

Tương tự rồi nhân theo vế, ta được: $(ab+c^2)^2(bc+a^2)^2(ca+b^2)^2\geqslant a^2b^2c^2(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\Leftrightarrow (ab+c^2)(bc+a^2)(ca+b^2) \ge abc(a+b)(b+c)(a+c)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$