Chủ đề này có 10 trả lời

[viet nam in my heart]

Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc                          KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 2016-2017

                Đề chính thức                                                                               ĐỀ THI MÔN: TOÁN

                                                                                       Dành cho tất cả các thí sinh

                                                                                       Thời gian làm bài : 120 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1:(2,0 điểm)  Cho phương trình: $x^2-2mx+m+2=0$ ($m$ là tham số)

a) Giải phương trình khi $m=2$

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 2:(2,0 điểm) Cho biểu thức $A=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)^2(x>0,x \neq 1)$

a)Rút gọn $A$

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\dfrac{A}{\sqrt{x}} >3$

Câu 3:(2,0 điểm)  Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left(m+1\right)x-2y=-1 \\  x+my=5\end{matrix}\right.$, với $m$ là tham số

a) Giải hệ phương trình khi $m=2$

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $(x,y)$ sao cho $5x+y$ lớn nhất

Câu 4:(3,0 điểm) Cho nửa đường tròn $(O)$ có tâm là $(O)$ và đường kính $AB=2R$ ($R$ là một số dương cho trước). Gọi $M,N$ là hai điểm di động trên đường tròn $(O)$. sao cho $M$ thuộc cung $\stackrel\frown{AN}$ và tổng khoảng cách từ $A$ và $B$ đến đường thẳng $MN$ bằng $R\sqrt{3}$. Gọi $I$ là giao điểm của các đường thẳng $AN$ và $BM$;$K$ là giao điểm của các đường thẳng $AM$ và $BN$

a) Chứng minh rằng bốn điểm $K,I,M,N$ cùng nằm trên một đường tròn $(C)$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $MN$ và bán kính đường tròn $(C)$ theo $R$

c) Xác định ví trí của $M,N$ sao cho tam giác $KAB$ có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo $R$

Câu 5:(1,0 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x+y+z$

-------------Hết-------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

P\s: Biết ngay năm nay ra bất là câu cuối mà (vẫn là bài quen thuộc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 10-06-2016 - 18:44

[cristianoronaldo]

Câu bất mình chỉ tìm được max thôi:

Từ giả thiết suy ra x,y,z$\in \left ( 0,2 \right )$

Ta có:

$x^2+y^2+z^2+xyz=4$

$\Leftrightarrow x^2+xyz+\frac{y^2z^2}{4}= 4+\frac{y^2z^2}{4}-y^2-z^2$

$\Rightarrow (x+\frac{yz}{2})^2=\frac{(4-y^2)(4-z^2)}{4}$

$\Rightarrow x= \frac{\sqrt{(4-y^2)(4-z^2)}-yz}{2}$

Như vậy ta có:

$\sum x= \frac{\sqrt{(4-y^2)(4-z^2)}-yz}{2}+y+z\leq \frac{\frac{8-y^2-z^2}{2}-yz}{2}+y+z=3-(\frac{y+z}{2}-1)^2\leq 3$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1

Vậy max P là 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 10-06-2016 - 17:54

[cristianoronaldo]

sb.jpg

P\s: Biết ngay năm nay ra bất là câu cuối mà (vẫn là bài quen thuộc)

Giá trị min chắc xảy ra khi 2 số bằng 0, số còn lại bằng 2

[viet nam in my heart]

Câu 5: 

Ta có một bất đẳng thức quen thuộc chứng minh bằng $Dirichlet$: $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2 \left(ab+bc+ca\right)$

Do đó ta có: $2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc =8 \Rightarrow 9 \geq a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right) \Leftrightarrow a+b+c \leq 3$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Phần tìm giá trị nhỏ nhất còn dễ hơn cả giá trị lớn nhất mà 

Dự đoán $a+b+c \geq 2$ nên ta sẽ chứng minh $\left(a+b+c\right)^2 \geq a^2+b^2+c^2+abc \Leftrightarrow 2ab+2bc+2ca \geq abc \Leftrightarrow \left(2-a\right)bc+2ab+2ca  \geq 0$

Do $a,b,c \geq 0$ nên từ giả thiết $a^2+b^2+c^2+abc=4$ thì ta có: $a,b,c \leq 2$

Mà $b \geq 0,c \geq 0$ nên ta có:  $\left(2-a\right)bc+2ab+2ca  \geq 0$ $\blacksquare$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi có $2$ số bằng $0$ và một số bằng $2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 10-06-2016 - 18:27

[Nguyenngoctu]

Bài 5 các ta có thể giải như sau:

* Nếu 1 trong các số x,y,z=0, chẳng hạn z=0, ta có $$4 = {x^2} + {y^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^2} \Rightarrow x + y \le 2\sqrt 2 \Rightarrow x + y + z \le 2\sqrt 2 $$.

* Nếu cả ba số x,y,z khác 0. Đặt $$\frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}} ;\,\,\frac{y}{2} = \sqrt {\frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right)\left( {c + a} \right)}}} ;\,\,\frac{z}{2} = \sqrt {\frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right)\left( {a + b} \right)}}} ,\,\,\forall a,b,c > 0$$.

$$\begin{array}{l} \Rightarrow x + y + z = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {\frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}} + \sqrt {\frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right)\left( {c + a} \right)}}} + \sqrt {\frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right)\left( {a + b} \right)}}} } \right) \le \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}} + \frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}} + \frac{a}{{a + b}} = 3\\ \Rightarrow \max \left( {x + y + z} \right) = 3 \end{array}$$.

Còn làm phản chứng như lời giải ở trên là hợp lí rồi!

Nếu $\[x + y + z < 2 \Rightarrow \sum {{x^2}} + 2\sum {xy} < 4 = \sum {{x^2}} + xyz \Rightarrow 2\sum {xy} < xyz\]$

Mà $\[2\sum {xy} > \sum x \sum {xy} \ge 9xyz\]$

$\[ \Rightarrow 9xyz \le 2\sum {xy} < xyz\]$ (Vô lý)

[Nguyenngoctu]

Với đầu bài: a,b,c>0 thỏa mãn $${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$$ ta có một số bất đẳng thức sau:

a) $$a + b + c \ge abc + 2$$

b) $$\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }} \ge \frac{{a + b + c + 3}}{2}$$

c) $$abc\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) \le 8$$.

[anhminhnam]

Câu 1: a) $x=2$ b) $\Delta =0\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=2$

Câu 2: a)$A=\frac{1-x}{^{\sqrt{x}}}$ b) $x<\frac{1}{4}$

Câu 3: a) (1;2) b) giải hệ m khác 0 và -1 thu được

$x=\frac{10-m}{m^2+m+2}$ $y=\frac{5m+6}{m^2+m+2}$

Với mọi m thì ta luôn có $\frac{m+1}{1}\neq \frac{-2}{m}\Leftrightarrow m^2+m+2\neq 0 (bt>0 )$ mọi m

$5x+y= \frac{56}{m^2+m+2}= \frac{56}{(m+\frac{1}{2})^2 +\frac{7}{4}}\leq 32$

Vậy $m=\frac{-1}{2}$

Xét

$m=0$ hoặc $m=-1\Rightarrow 5x+y=28<32$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 10-06-2016 - 19:59

[cristianoronaldo]

Với đầu bài: a,b,c>0 thỏa mãn $${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$$ ta có một số bất đẳng thức sau:

a) $$a + b + c \ge abc + 2$$

b) $$\frac{1}{{\sqrt {ab} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} }} + \frac{1}{{\sqrt {ca} }} \ge \frac{{a + b + c + 3}}{2}$$

c) $$abc\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) \le 8$$.

Mình xin bổ xung thêm:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a^2+b^2+c^2$

[Nguyenngoctu]

yes!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenngoctu: 10-06-2016 - 20:45

[cristianoronaldo]

Mình xin bổ xung thêm:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a^2+b^2+c^2$

Mình xin chứng minh ở đây luôn:

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{ab}{c}=x\\ \frac{bc}{a}=ý\\ \frac{cả}{b}=z\end{matrix}\right.$ thì ta được xy+yz+zx+xyz=4 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sum x\geq \sum xy$

Từ giả thiết suy ra $z= \frac{4-xy}{x+y+xy}$

Ta có:

$(x+y+xy)(\sum x-\sum xy)= (x+y+xy)[x+y-xy+(1-x-y).\frac{4-xy}{x+y+xy}]= (x-y)^2+(4-xy)(x-1)(y-1)\geq 0$

Luôn đúng do theo nguyên lí Dirichlet ta có $(x-1)(y-1)\geq 0$

$\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 10-06-2016 - 21:21

[happyfree]

Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc                          KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 2016-2017

                Đề chính thức                                                                               ĐỀ THI MÔN: TOÁN

                                                                                       Dành cho tất cả các thí sinh

                                                                                       Thời gian làm bài : 120 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1:(2,0 điểm)  Cho phương trình: $x^2-2mx+m+2=0$ ($m$ là tham số)

a) Giải phương trình khi $m=2$

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 2:(2,0 điểm) Cho biểu thức $A=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)^2(x>0,x \neq 1)$

a)Rút gọn $A$

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\dfrac{A}{\sqrt{x}} >3$

Câu 3:(2,0 điểm)  Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left(m+1\right)x-2y=-1 \\  x+my=5\end{matrix}\right.$, với $m$ là tham số

a) Giải hệ phương trình khi $m=2$

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hệ có nghiệm duy nhất $(x,y)$ sao cho $5x+y$ lớn nhất

Câu 4:(3,0 điểm) Cho nửa đường tròn $(O)$ có tâm là $(O)$ và đường kính $AB=2R$ ($R$ là một số dương cho trước). Gọi $M,N$ là hai điểm di động trên đường tròn $(O)$. sao cho $M$ thuộc cung $\stackrel\frown{AN}$ và tổng khoảng cách từ $A$ và $B$ đến đường thẳng $MN$ bằng $R\sqrt{3}$. Gọi $I$ là giao điểm của các đường thẳng $AN$ và $BM$;$K$ là giao điểm của các đường thẳng $AM$ và $BN$

a) Chứng minh rằng bốn điểm $K,I,M,N$ cùng nằm trên một đường tròn $(C)$

b) Tính độ dài đoạn thẳng $MN$ và bán kính đường tròn $(C)$ theo $R$

c) Xác định ví trí của $M,N$ sao cho tam giác $KAB$ có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo $R$

Câu 5:(1,0 điểm) Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x+y+z$

-------------Hết-------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

P\s: Biết ngay năm nay ra bất là câu cuối mà (vẫn là bài quen thuộc)

theo nguyên lí $Dirichlet$ thì 2 trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ cùng dấu. Ko mất tính tổng quát giả sử $(x-1)(y-1) \geq 0$ thì $2z(x-1)(y-1) \geq 0\Rightarrow 2xyz \geq 2yz+2zx-2z  (1)$

Ta có:

$(x-y)^2+(z-1)^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+1 \geq 2z+2xy  (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $ x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \geq 2(xy+yz+zx)$

$\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2+xyz)+1 \geq (x+y+z)^2$

$\Rightarrow 9 \geq (x+y+z)^2 \Rightarrow 3 \geq x+y+z$