2 replies to this topic

[HoaiBao]

Cho a,b là hai số thực phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.

Edited by HoaiBao, 10-06-2016 - 21:13.

[mathstu]

Cho a,b là hai số thực phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.

bài toán phụ: cho $a,b$ là 2 số hữu tỉ phân biệt sao cho $a^n-b^n\in Z+$ thì $a,b$ cũng là số nguyên

lời giải

nếu mà $a=-b$ thì ta có $\left\{\begin{matrix} 2a=x \in Z \\ 2a^3\in Z \end{matrix}\right.$

--> $2a^3=\frac{x^3}{4} \in Z$-> $x$ chia hết cho $2$ --> $a \in Z$ và $b \in Z$

xét $a\neq \pm b$

đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{x}{z}\\ b=\frac{y}{z'} \end{matrix}\right.$ với $x,y,z,z'$ là số nguyên và $z,z'>0$ và $(x,z)=(y,z')=1$

• $a-b=\frac{x}{z}-\frac{y}{z'} \in Z$  --> $z'(a-b)=\frac{xz'}{z}-y \in Z$

 --> \frac{xz'}{z} \in Z do $(x,z)=1$ nên $z'$ chi hết cho $z$

tương tự ta có  $z$ chi hết cho $z'$

==>  $z=z'$

ta có $a=\frac{x}{z}$, $b=\frac{y}{z}$

ta sẽ đi cm $z=1$

giả sử trái lại $z>1$

gọi $p$ là ước nguyên tố của $z$ thì ta có $p^n \setminus z^n\setminus x^n-y^n$

--> $n \leq v_{p}(x^n-y^n)$

với $p=2$ theo bổ đề LTE ta có $2^m\leq v_{2}(x^{2m}-y^{2m})=v_{2}(x-y)+v_{2}(x+y)-1+m$

--> $2^m-m\le v_{2}(x-y)+v_{2}(x+y)-1$

vô lí vì $2^m -m > C_{2}^{m}-m$ nên $\lim_{m\rightarrow \infty }(2^m-m)=+\infty$ mà $x\neq \pm y$ 

nên  $v_{2}(x-y)+v_{2}(x+y)-1$ là hữ hạn

với $p>2$ theo Bổ đề LTE ta có

$p^m\le v_{p}(x^{p^m}-y^{p^m})=v_{p}(x-y)+m$ 

tương tự như ở trên vô lí

 

trở lại bài toán dễ dàng cm được $a,b$ là số hữu tỉ áp dụng bài toán trên --> đpcm

Edited by mathstu, 11-06-2016 - 00:43.

[I Love MC]

 Với việc đặt $x_n=a^n-b^n \in \mathbb{Z} ,\forall n \in \mathbb{N^*}$ . Ta có $\frac{\frac{x_2}{x_1} \pm x_1}{2}=a,b$ . Bài toán sẽ hoàn tất nếu một trong $a,b$ có một số là nguyên 
Giả sử $a$ không nguyên 
Ta có đặt $a=\frac{p}{q},(p,q)=1,|q|>1$ . Ta có tồn tại $m \in \mathbb{N},q^m||a-b$ . Xét 
$(x_1+\frac{p}{q})^n-(\frac{p}{q})^n=x_n \Leftrightarrow (x'q^{m+1}+p)^n-p^n=q^nx_n$ 
Chia $2$ vế cho $q^{m+1} \Rightarrow \sum_{i=0}^{n-1} C_n^i p^i.x'^{n-i}.q^{(m+1)(n-i-1)}=q^{m-n-1}.x_n$ 
Với $m>n+1$ thì $q|x'p^{n-1}n $. Mà $(p,q)=1$ . Chọn $n=(m+2)|q|+1$ ta có $q'|x$ (vô lí) . Suy ra $|q|=1$ suy ra $a$ nguyên dẫn đến $b$ nguyên