Đến nội dung

Hình ảnh

$1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên:

 

Hình gửi kèm

  • 123456.gif

Alpha $\alpha$ 


#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên:

Từ giả thiết suy ra $x=ta^2$ và $y=tb^2$,giả sử $a\geqslant b$

BÌnh phương 2 vế ta có:$PT<=>2=\sqrt{xy}-\sqrt{x+y+3}<=>2=tab-\sqrt{ta^2+tb^2+3}$

$<=>t^2a^2b^2-4tab+1=t(a^2+b^2)<=>ta^2b^2-4ab+\frac{1}{t}=a^2+b^2$

Dẫn đến $t=1:$ nên ta có:

$<=>ab-4=\frac{a^2+b^2-1}{ab}$ $(*)$

Đặt $k=\frac{a^2+b^2-1}{ab}$ $(k\in \mathbb{N^*})$

Dễ thấy $k=2$ thì $x=9$ và $y=4$

Xét $k\neq 2$:

$PT<=>a^2-kba+b^2-1=0$>Suy ra $a$ là nghiệm của phương trình $X^2-X.kb+b^2-1=0$ $(1)$

Cố định tập nghiệm.Chọn cặp $(a,b)$ sao $a+b$ nhỏ nhất 

Ngoài nghiệm $a$ thì $PT(1)$ còn nghiệm $x_0$ nên theo $Viete$

$\left\{\begin{matrix}x_0+a=kb\\ ax_0=b^2-1 \end{matrix}\right.$

Suy ra $x_0$ nguyên dương nên theo tính nhỏ nhất của $a+b=>x_0\geqslant a$

$<=>kb=x_0+a\leqslant 2x_0<=>2ax_0\geqslant kab\geqslant kb^2$

$=>2(b^2-1)=2ax_0\geqslant  kb^2<=>b^2(2-k)\geqslant 2$

$<=>k=1<=>ab=5=>PT$ vô nghiệm

Vậy $(x,y)=(9,4)$ và hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 17-06-2016 - 09:35


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Từ giả thiết suy ra $x=a^2$ và $y=b^2$,giả sử $a\geqslant b$

$PT<=>2=\sqrt{xy}-\sqrt{x+y+3}<=>2=ab-\sqrt{a^2+b^2+3}$

$<=>a^2b^2-4ab=a^2+b^2-1<=>ab-4=\frac{a^2+b^2-1}{ab}$ $(*)$

Đặt $k=\frac{a^2+b^2-1}{ab}$ $(k\in \mathbb{N^*})$

Dễ thấy $k=2$ thì $x=9$ và $y=4$

Xét $k\neq 2$:

$PT<=>a^2-kba+b^2-1=0$>Suy ra $a$ là nghiệm của phương trình $X^2-X.kb+b^2-1=0$ $(1)$

Cố định tập nghiệm.Chọn cặp $(a,b)$ sao $a+b$ nhỏ nhất 

Ngoài nghiệm $a$ thì $PT(1)$ còn nghiệm $x_0$ nên theo $Viete$

$\left\{\begin{matrix}x_0+a=kb\\ ax_0=b^2-1 \end{matrix}\right.$

Suy ra $x_0$ nguyên dương nên theo tính nhỏ nhất của $a+b=>x_0\geqslant a$

$<=>kb=x_0+a\leqslant 2x_0<=>2ax_0\geqslant kab\geqslant kb^2$

$=>2(b^2-1)=2ax_0\geqslant  kb^2<=>b^2(2-k)\geqslant 2$

$<=>k=1<=>ab=5=>PT$ vô nghiệm

Vậy $(x,y)=(9,4)$ và hoán vị



#4
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Từ giả thiết suy ra $x=a^2$ và $y=b^2$,giả sử $a\geqslant b$

$PT<=>2=\sqrt{xy}-\sqrt{x+y+3}<=>2=ab-\sqrt{a^2+b^2+3}$

$<=>a^2b^2-4ab=a^2+b^2-1<=>ab-4=\frac{a^2+b^2-1}{ab}$ $(*)$

Đặt $k=\frac{a^2+b^2-1}{ab}$ $(k\in \mathbb{N^*})$

Dễ thấy $k=2$ thì $x=9$ và $y=4$

Xét $k\neq 2$:

$PT<=>a^2-kba+b^2-1=0$>Suy ra $a$ là nghiệm của phương trình $X^2-X.kb+b^2-1=0$ $(1)$

Cố định tập nghiệm.Chọn cặp $(a,b)$ sao $a+b$ nhỏ nhất 

Ngoài nghiệm $a$ thì $PT(1)$ còn nghiệm $x_0$ nên theo $Viete$

$\left\{\begin{matrix}x_0+a=kb\\ ax_0=b^2-1 \end{matrix}\right.$

Suy ra $x_0$ nguyên dương nên theo tính nhỏ nhất của $a+b=>x_0\geqslant a$

$<=>kb=x_0+a\leqslant 2x_0<=>2ax_0\geqslant kab\geqslant kb^2$

$=>2(b^2-1)=2ax_0\geqslant  kb^2<=>b^2(2-k)\geqslant 2$

$<=>k=1<=>ab=5=>PT$ vô nghiệm

Vậy $(x,y)=(9,4)$ và hoán vị

khúc này là sao bạn, bạn làm hơi tắt quá


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#5
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

Bài giải của mình đây !!!!!!!!!!!!!

File gửi kèm


Alpha $\alpha$ 


#6
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Bài giải của mình đây !!!!!!!!!!!!!

Thiếu nghiệm rồi.

Chẳng hạn như $(9,4);(4,9)$ giống bạn Minhnguyenthe333 ở trên. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 18-06-2016 - 17:24

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#7
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

Sai đoạn bình phương dẫn tới Thiếu nghiệm rồi.

Chẳng hạn như $(9,4);(4,9)$ giống bạn Minhnguyenthe333 ở trên. 

mình nhầm một chỗ nhưng không phải ở chỗ bình phương

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 18-06-2016 - 17:16

Alpha $\alpha$ 


#8
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

bài giải đã sửa đây !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

File gửi kèm


Alpha $\alpha$ 


#9
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

Các bạn xem lời giải rồi góp ý cho mình với !!!!!!!!!!!!!!

:icon6:  :icon6:  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 18-06-2016 - 17:41

Alpha $\alpha$ 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh