Chủ đề này có 6 trả lời

[viet nam in my heart]

Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc                          KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 2016-2017

                Đề chính thức                                                                               ĐỀ THI MÔN: TOÁN

                                                                                       Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, chuyên Tin

                                                                                       Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1:(2,0 điểm)  Cho phương trình: $x^4+3x^3-mx^2+9x+9=0$ ($m$ là tham số)

a) Giải phương trình khi $m=-2$

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương

Câu 2:(3,0 điểm)

a) Giải phương trình: $3x^2-4x\sqrt{4x-3}+4x-3=0$

b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên $x,y$ của phương trình $x^2=y^2\left(x+y^4+2y^2\right)$

Câu 3:(1,0 điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right) \geq 9$$

Câu 4:(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB<AC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. $AM$ cắt $(O)$ tại điểm $D$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ khác $C$.Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $F$ khác $B$

a) Chứng minh rằng hai tam giác $BDF,CDE$ đồng dạng và ba điểm $E,M,F$ thẳng hàng

b) Chứng minh rằng $OA \perp EF$

c) Phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt $EF$ tại điểm $N$. Phân giác của các góc $\widehat{CEN}$ và $\widehat{BFN}$ lần lượt cắt $CN,BN$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ song song với $BC$

Câu 5:(1,0 điểm) Tập hợp $A = \{1;2;3;,,,;3n-1;3n\}$ với $n$ là một số nguyên dương được gọi là tập hợp cân đối nếu có thể chia $A$ thành $n$ tập hợp con $A_1,A_2,...,A_n$ và thỏa mãn hai điều kiện sau:

   i) Mỗi tập hợp $A_i(i=1,2,..,n)$ gồm $3$ số phân biệt và có một số bằng tổng của hai số còn lại

   ii) Các tập hợp $A_1,A_2,..,A_n$ đôi một không có phần tử chung

a) Chứng minh rằng tập $A = \{1;2;3;...;92;93\}$ không là tập hợp cân đối

b) Chứng minh rằng tập $A = \{1;2;3;...;830;831\}$ là tập hợp cân đối

-------------Hết-------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 11-06-2016 - 13:02

[Namvip]

Bài bất 

Ta có 

BĐT <=>$12(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}) \geq 27$

<=>$4(a + b + c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}) \geq 27$

Lại có 

$4(a + b + c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

= $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+a(b^{2}+c^{2})+b(c^{2}+a^{2})+c(a^{2}+b^{2}) \geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc$ = $(a+b+c)^{3} =27$ 

=>$4(a + b + c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - 3(a^{3}+b^{3}+c^{3}) \geq 27$(BĐT được chứng minh)

=>$4(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - (a^{3}+b^{3}+c^{3}) \geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namvip: 11-06-2016 - 13:28

[Hoang Nhat Tuan]

Câu 5:

a) Dễ thấy rằng tổng của tất cả các số thuộc các tập $A_i$ phải là số chẵn mà $1+2+3+...+93=4371$ là số lẻ nên ta có ĐPCM

b) Ta sẽ chia thành các bộ số như sau (mỗi bộ số tương ứng với một tập $A_i$):

$(415,416,831);(413,417,830);(411,418,829);...;(1,623,624)$

Còn lại các số: $2,4,6,...,414$ chưa thuộc tập $A_i$ nào, lại thấy yêu cầu rằng tổng $2$ số bằng số thứ $3$ trong tập $A_i$ bất kì nên việc sắp các số $2,4,6,...,414$ vào tập $A_i$ cũng tương ứng với sắp các số $1,2,3,...,207$ vào các tập $B_j$ thỏa mãn trong $B_j$ có $1$ số bằng tổng $2$ số còn lại.

Ta tiếp tục chia như sau:

$(103,104,207),(101,105,206),(99,106,205),...,(1,155,156)$

Tương tự như trên, ta lại sắp các số $1,2,3,...,51$ như sau:

$(25,26,51),(23,27,50),(21,28,49),...,(1,38,39)$

Cuối cùng, ta sắp các số $1,2,...,12$ như sau:

$(1,5,6);(2,9,11),(3,7,10),(4,8,12)$

Bài toán được chứng minh 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 11-06-2016 - 17:50

[Chris yang]

Bài 2:

a) Phương trình tương đương $(\sqrt{4x-3}-2x)^2=x^2\Leftrightarrow (\sqrt{4x-3}-x)(\sqrt{4x-3}-3x)=0$ 

Dễ dàng giải PT trên ta thu được $x=1,3$ là nghiệm

b)(Tính chia hết áp dụng cho cả số âm và dương)

Dễ thấy $y|x$ nên đặt $x=ty$. Ta có $t^2=ty+y^4+2y^2$. Gọi $m=\gcd(t,y)$ nên $t=t_1m,y=y_1m$ với $(t_1,y_1)=1$ $(1)$

Khi đó $t_1^2=y_1(t_1+y_1^3m^2+2y_1)$, kết hợp $(1)$ suy ra $y_1=\pm 1$

TH1 $y_1=1$ thì $t_1^2=t_1+m^2+2\rightarrow (2t_1-2m-1)(2t_1+2m-1)=9$

TH2: $y_1=-1$ thì $(2t_1-2m+1)(2t_1+2m+1)=9$

Hai phương trình tích trên đều có thể giải nghiệm nguyên dễ dàng!

 

Bài 4:

a) 

Do tứ giác $BMDF$ và $MECD$ nội tiếp nên $\angle BFD=\angle BMA=\angle DMC=\angle DEC$ $(1)$

Và tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên $\angle FBD=\angle DCE$ $(2)$

Từ $(1), (2)\Rightarrow \bigtriangleup BDF\sim \bigtriangleup CDE$ 

$\Rightarrow \angle FDB=\angle EDC$. Mà $\angle FDB=\angle FMB$ và $\angle EDC=\angle EMC$ nên $\angle FMB=\angle EMC$, kéo theo $\overline{F,M,E}$

b) Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ ( $x$ nằm cùng phía $B$ so với $OA$)

Ta có $\angle xAF=\angle ACB=\angle BDA=\angle AFM=\angle AFE$ ( do $\overline{F,M,E}$ và $BMDF$ nội tiếp)

$\Rightarrow Ax\parallel EF$. Hiển nhiên $Ax\perp OA\rightarrow OA\perp EF$

c) 

Để $PQ\parallel BC$ cần có $\frac{BQ}{QN}=\frac{PC}{PN}$

Theo tính chất đường phân giác $\frac{BQ}{QN}=\frac{BF}{FN},\frac{PC}{PN}=\frac{EC}{EN}$, nên cần chứng minh $ \frac{BF}{FN}=\frac{EC}{EN}\Leftrightarrow \frac{BF}{CE}=\frac{FN}{EN}=\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}$

$\Leftrightarrow BF.AB=AE.AC\Leftrightarrow AB.AF+AC.AE=AB^2+AC^2$

Thấy rằng $AB.AF=AE.AC=AM.AD=AM^2+AM.MD=AM^2+MB.MC=AM^2+\frac{BC^2}{4}$ nên ta đi chứng minh $AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{BC^2}{2}$

Đến đây kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ rồi sử dụng định lý Pitago ta có đpcm

 

 

 

 

 

[Zeref]

Cho hỏi câu pt nghiệm nguyên ra mấy nghiệm vậy

[githenhi512]

Cho hỏi câu pt nghiệm nguyên ra mấy nghiệm vậy

Chắc là 3: (x,y)=(-8; 2); (12;2): (0;0)

[Zeref]

Chắc là 3: (x,y)=(-8; 2); (12;2): (0;0)

Sao kì vậy . Mình ra tới 5 cặp lận . Mình nghĩ là bạn sót 2 cặp (x,y)=(-8;-2) ; (12;-2) rồi . Bạn xem lại nhé