Chủ đề này có 27 trả lời

[nntien]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                       KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

 

           BÌNH THUẬN                                                     THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO 

 

  ĐỀ THI CHÍNH THỨC                                                          NĂM HỌC 2016 – 2017                                                        

 

                                                                                               Môn thi: Toán (Hệ số 2 - Chuyên Toán)

 

                                                                                               Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

 

 

 ĐỀ

 

Bài 1 (2,0 điểm): Giải hệ phương trình:

                             $\left\{\begin{matrix} 2x^2+2x-\sqrt{y-1}=2 \\ x^2+x+2\sqrt{y-1}=6 \end{matrix}\right.$

Bài 2 (2,0 điểm): Cho hai số nguyên dương lẻ $m$,$n$ nguyên tố cùng nhau và thỏa:.

                             $\left\{\begin{matrix} m^2+2 \vdots n\\ n^2+2 \vdots m \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: $m^2+n^2+2 \vdots 4mn$

Bài 3 (2,0 điểm): Cho các số dương $x$, $y$, $z$. Chứng minh rằng:

                             $\frac{xy}{x^2+yz+zx}+\frac{yz}{y^2+zx+xy}+\frac{zx}{z^2+xy+yz} \leq \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$.

Dấu "=" xảy ra khi nào?

Bài 4 (3,0 điểm): Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC<2R$, điểm A di động trên $(O,R)$ sao cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn. Kẻ các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ của $\triangle ABC$. Gọi $K$, $L$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác $BDF$, $CDE$.

           a) Chứng minh hai tam giác $BFD$, $ECD$ đồng dạng.

           b) Chứng minh $\widehat{DKL}=\widehat{DFC}$.

c) Chứng minh rằng đường thẳng $d$ qua $A$ và vuông góc với $KL$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động.

Bài 5 (1,0 điểm): Giả sử trên bảng viết 2016 câu khẳng định như sau:

Câu 1. Trên bảng có ít nhất 1 câu khẳng định sai.

Câu 2. Trên bảng có ít nhất 2 câu khẳng định sai.

...

Câu 2016. Trên bảng có ít nhất 2016 câu khẳng định sai.

Hỏi những câu khẳng định nào trên bảng là đúng?

 

---------------------------------------------------------------HẾT---------------------------------------------------------------

:

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 15-06-2016 - 23:19

[anhminhnam]

Bài 1

Nhân 2 cho 2 vế pt trên rồi cộng vế theo vế $5x^2+5x=10 <=> x^2+x-2=0 <=> x=1$ hoặc $x=-2$

Thế x vào tính y được 2 nghiệm $(1;5) (-2;5)$

Bài 2

$(m^2+2)(n^2+2)\vdots mn \Leftrightarrow 2m^2+2n^2+4\vdots mn \Leftrightarrow m^2+n^2+2\vdots mn$ (m,n lẻ)

Có thể đặt $m=2a+1$ $n=2b+1$ a, b nguyên không âm $\Rightarrow m^2+n^2+2=4(a^2+a+b^2+b+1)\vdots 4$

Vậy $m^2+n^2+2=4(a^2+a+b^2+b+1)\vdots 4mn$ (mn lẻ) (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 11-06-2016 - 18:57

[thaibuithd2001]

câu bất lúc làm em bí quá nên dùng bất đẳng thức hoán vị nên ko biết có đúng không 

Giả sử $x \geq y \geq z$ thì $\sum_{cyc}\frac{xy}{x^2+xz+yz} \leq \sum_{cyc}\frac{x^2}{x^2+xz+yz} \leq \sum_{cyc}\frac{x^2}{xy+yz+zx}$ 

[Thislife]

câu bất lúc làm em bí quá nên dùng bất đẳng thức hoán vị nên ko biết có đúng không 

Giả sử $x \geq y \geq z$ thì $\sum_{cyc}\frac{xy}{x^2+xz+yz} \leq \sum_{cyc}\frac{x^2}{x^2+xz+yz} \leq \sum_{cyc}\frac{x^2}{xy+yz+zx}$ 

Tại sao bạn lại giả sử được $x\geq y \geq z $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 11-06-2016 - 19:09

[thaibuithd2001]

Tại sao bạn lại giả sử được $x\geq y \geq z $

vai trò x,y,z không đổi nên ko mất tính tổng quát ta giả sử á bạn

[mathprovn]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathprovn: 15-06-2016 - 15:07

[anhminhnam]

Câu 5 hơi hack não tí =))))

một bổ đề nho nhỏ: Nếu khẳng định n đúng thì khẳng định n-1 cũng đúng. Nếu khẳng định n-1 sai  thì khẳng định n chắc chắn sai

Giả sử câu 2016 là một câu đúng, vậy câu 2015 là câu sai kéo theo câu 2016 là một câu sai. (mâu thuẫn) vậy kđ 2016 sai

Giả sử câu 2015 là một câu đúng, còn ít nhất 2014 câu sai ngoài câu 2016, vậy câu 2014 là một câu sai, kéo theo câu 2015 là câu sai (mâu thuẫn) vậy kđ 2015 sai.

....

Giả sử câu 1009 là một câu đúng, còn ít nhất 2 câu sai ngoài câu 1010....2016, vậy câu 1008 là một câu sai, kéo theo câu 1009 là câu sai (mâu thuẫn) vậy kđ 1009 sai.

Giả sử câu 1008 là một câu đúng, còn ít nhất 0 câu sai ngoài câu 1009....2016, vậy câu 1008 là một câu đúng.

Vậy kđ từ 1->1008 là kđ đúng có 1008 kđ sai từ câu 1009->2016

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 11-06-2016 - 19:45

[thaibuithd2001]

câu hình $b$ ta chứng minh $\Delta FDC \sim \Delta KDL$

câu $c$ lúc thi em làm hơi dài dòng

Ta có 2 bổ đề sau (bổ đề 1 quen thuộc còn bổ đề 2 em đã đọc rồi nhưng lại quên cách chứng minh nên ghi dễ dàng biến đổi góc vào bài làm luôn :v)

Bổ đề 1: $H$ trực tâm $\Delta ABC$ thì tâm $O'$ của $\odot (BHC)$ đối xứng với $O$ qua $BC$.

Bổ đề 2: $\Delta ABC$ có $S,I,T$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ sao cho $AS,BI,CA$ lần lượt là các đường phân giác trong của $\Delta ABC$ $\angle BAx$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ thì khi đó $\angle TIB=\frac{\angle BAx}{4}$

Quay lại bài toán:

Gọi $H$ là trực tâm $\Delta ABC$ 

       $N$ là tâm $Euler$ của $\Delta ABC$

       $M$ là trung điểm $BC$

       $KL$ cắt $DE$ tại $V$

       $I,S$ là giao của $DF$ với $BE$ và $DE$ với $CF$

Áp dụng bổ đề 2 vào $\Delta DFE$ ta được $\angle EIS=\angle EDL$

                                                                     => $\angle IES+\angle EIS=\angle KLD+\angle EDL$

                                                                     => $\angle ISD=\angle KVD$ => $IS$ // $KL$

$AH=OO'=2OM$ và $AH$ // $OO'$ nên $AHO'O$ là hình bình hành => $\overline{A,N,O'}$

Vì $\mathcal P_{I/(O')}=IB.IH=IF.ID=\mathcal P_{I/(N)}$

    $\mathcal P _{S/(O')}=SH.SC=SE.SD=\mathcal P_{S/(N)}$

nên $SI$ là trục đẳng phương của $(O')$ và $(N)$

Do đó $NO' \perp IS$ hay $AO' \perp KL$ 

Vậy điểm cố định $d$ luôn đi qua là $O'$

 

 

     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaibuithd2001: 11-06-2016 - 20:15

[loolo]

câu bất lúc làm em bí quá nên dùng bất đẳng thức hoán vị nên ko biết có đúng không 

Giả sử $x \geq y \geq z$ thì $\sum_{cyc}\frac{xy}{x^2+xz+yz} \leq \sum_{cyc}\frac{x^2}{x^2+xz+yz} \leq \sum_{cyc}\frac{x^2}{xy+yz+zx}$ 

Nếu bạn giả sử x$\geq y\geq z$ thì $\frac{1}{z}\geq \frac{1}{x}$ rồi. Phân số cuối ngược dấu rồi bạn ơi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loolo: 11-06-2016 - 19:58

[Thislife]

vai trò x,y,z không đổi nên ko mất tính tổng quát ta giả sử á bạn

Bài thử thay $(x,y,z)$ thành $(z,y,x) $ đi .Nó trở thành một biểu thức khác nên không thể nói là vai trò của x,y,z không đổi được 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 11-06-2016 - 19:59

[nntien]

Bài 4:

a. AFDC nội tiếp => $\angle BFD =\angle DCE$. AEDB nội tiếp =>  $\angle DEC =\angle FBD$ => đpcm

b. Từ câu a =>  DA là phân giác góc FDE =>  $\angle KDL =\angle FDC$ (1)

Từ câu a => $\triangle FKD \sim \triangle CLD$ => $\frac{DK}{DL}=\frac{DF}{DC}$ (2),

từ (1), (2) =>  $\triangle KDL \sim \triangle FDC$ (c-g-c) => đpcm

c. Kẻ KL cắt AB, AC lần lượt tại X, Y như hình vẽ.

Ta có:  $\angle LYC =\angle KLC - (1/2)\angle ACB=\angle KLD + 90^0+(1/2)\angle ABC- (1/2)\angle ACB$. (1)

Tương tự ta cũng có: $\angle KXB =\angle LKD + 90^0+(1/2)\angle ACB- (1/2)\angle ABC$. (3)

Xét tam giác ABC, WLOG giả sử $AC \geq AB$ => $\angle B - \angle C = \angle DAC - \angle DAB = \angle LKD - \angle KLD$ (3)

Từ (1), (2), (3) =>  $\angle LYC =\angle KXB$ => tam giác AXY cân tại A => d là phân giác góc A => d đi qua điểm chia cung nhỏ BC thành hai phần bằng nhau.

Hình gửi kèm

• 

[nntien]

câu hình $b$ ta chứng minh $\Delta FDC \sim \Delta KDL$

câu $c$ lúc thi em làm hơi dài dòng

Ta có 2 bổ đề sau (bổ đề 1 quen thuộc còn bổ đề 2 em đã đọc rồi nhưng lại quên cách chứng minh nên ghi dễ dàng biến đổi góc vào bài làm luôn :v)

Bổ đề 1: $H$ trực tâm $\Delta ABC$ thì tâm $O'$ của $\odot (BHC)$ đối xứng với $O$ qua $BC$.

Bổ đề 2: $\Delta ABC$ có $S,I,T$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ sao cho $AS,BI,CA$ lần lượt là các đường phân giác trong của $\Delta ABC$ $\angle BAx$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ thì khi đó $\angle TIB=\frac{\angle BAx}{4}$

Quay lại bài toán:

Gọi $H$ là trực tâm $\Delta ABC$ 

       $N$ là tâm $Euler$ của $\Delta ABC$

       $M$ là trung điểm $BC$

       $KL$ cắt $DE$ tại $V$

       $I,S$ là giao của $DF$ với $BE$ và $DE$ với $CF$

Áp dụng bổ đề 2 vào $\Delta DFE$ ta được $\angle EIS=\angle EDL$

                                                                     => $\angle IES+\angle EIS=\angle KLD+\angle EDL$

                                                                     => $\angle ISD=\angle KVD$ => $IS$ // $KL$

$AH=OO'=2OM$ và $AH$ // $OO'$ nên $AHO'O$ là hình bình hành => $\overline{A,N,O'}$

Vì $\mathcal P_{I/(O')}=IB.IH=IF.ID=\mathcal P_{I/(N)}$

    $\mathcal P _{S/(O')}=SH.SC=SE.SD=\mathcal P_{S/(N)}$

nên $SI$ là trục đẳng phương của $(O')$ và $(N)$

Do đó $NO' \perp IS$ hay $AO' \perp KL$ 

Vậy điểm cố định $d$ luôn đi qua là $O'$

 

 

     

Ở lớp 9 bạn có học phương tích không? Mình nghĩ nếu bạn dùng nên chứng minh lại! Bạn cho cái hình để nhìn cho dễ nhé!

[tpdtthltvp]

Đề Toán vòng 2 - tuyển sinh 10 chuyên Bình Thuận 2016-2017

Bài 3: Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$$

Bài 3: Tư tưởng chung là dùng BĐT $Cauchy-schwarz:$

$$(x^2+yz+zx)(y^2+yz+zx)\geq (xy+yz+zx)^2\Leftrightarrow \frac{xy}{x^2+yz+zx}\leq \frac{xy^3+xy^2z+z^2yz}{(xy+yz+zx)^2}$$

Thiết lập các BĐT tương tự, ta có:

$$\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\leq \sum \frac{xy^3+xy^2z+x^2yz}{(xy+yz+zx)^2}=\frac{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)}{(xy+yz+zx)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}(\text{đpcm}).$$

[thaibuithd2001]

Ở lớp 9 bạn có học phương tích không? Mình nghĩ nếu bạn dùng nên chứng minh lại! Bạn cho cái hình để nhìn cho dễ nhé!

vừa mới kiểm tra lại , bổ đề 2 phải có thêm điều kiện của $\Delta ABC$ mới đúng nên câu $c$ em làm bị nhầm lẫn rồi thầy ạ 

[nntien]

vừa mới kiểm tra lại , bổ đề 2 phải có thêm điều kiện của $\Delta ABC$ mới đúng nên câu $c$ em làm bị nhầm lẫn rồi thầy ạ 

Em tính được bài làm của em mấy điểm?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 12-06-2016 - 16:11

[nntien]

Câu 5 hơi hack não tí =))))

một bổ đề nho nhỏ: Nếu khẳng định n đúng thì khẳng định n-1 cũng đúng. Nếu khẳng định n-1 sai  thì khẳng định n chắc chắn sai

Giả sử câu 2016 là một câu đúng, vậy câu 2015 là câu sai kéo theo câu 2016 là một câu sai. (mâu thuẫn) vậy kđ 2016 sai

Giả sử câu 2015 là một câu đúng, còn ít nhất 2014 câu sai ngoài câu 2016, vậy câu 2014 là một câu sai, kéo theo câu 2015 là câu sai (mâu thuẫn) vậy kđ 2015 sai.

....

Giả sử câu 1009 là một câu đúng, còn ít nhất 2 câu sai ngoài câu 1010....2016, vậy câu 1008 là một câu sai, kéo theo câu 1009 là câu sai (mâu thuẫn) vậy kđ 1009 sai.

Giả sử câu 1008 là một câu đúng, còn ít nhất 0 câu sai ngoài câu 1009....2016, vậy câu 1008 là một câu đúng.

Vậy kđ từ 1->1008 là kđ đúng có 1008 kđ sai từ câu 1009->2016

Đúng là dễ bị nổ não, cần bổ sung thuốc bổ não khi làm xong câu này .

Tuy nhiên ta có thể lý luận theo thứ tự như thế này:

1. Câu 2016: Trên bảng có ít nhất 2016 câu khẳng định sai. Giả sử câu này đúng => toàn bộ các câu đều sai => câu 2016 cũng sai, trái với điều giả sử, vậy câu 2016 là khẳng định sai.

2. Vì câu 2016 là khẳng định sai => nên câu 1 (có ít nhất một câu khẳng định sai - câu 2016) là khẳng định đúng

3. Câu 2015: Giả sử câu 2015 là khẳng định đúng nghĩa là có ít nhất 2015 câu sai, mà câu 1 là câu đúng => 2015 câu còn lại sai kể cả câu 2105 cũng sai, trái với giả thiết => câu 2105 là khẳng định sai => câu 2 là khẳng định đúng

...

Bẳng quy nạp mạnh: ta giả sử câu thứ 1 đến k (k<1008) là đúng và câu thứ 2017-k đến 2016 là câu sai, khi đó ta chứng minh câu thứ k+1 là đúng và câu thứ 2016-k là câu sai. Thật vậy, ta giả sử câu thứ 2016-k là câu đúng, nghĩa là có ít nhất 2016-k câu sai nhưng vì có k câu đúng nên 2016-k câu còn lại sai trong đó bao gồm câu thứ 2016-k => trái với giả thiết => câu 2016-k là câu sai => nghĩa là có 2016-(2016-k)+1 = k+1 câu sai => câu thứ k+1 là câu đúng.

=> số câu đúng bằng số câu sai => số câu đúng = số câu sai =1008. Thử lại ta thấy đúng.

Số câu đúng là: 1 -> 1008. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 12-06-2016 - 13:02

[anhminhnam]

1.png

Đề Thái Bình đã có ở đây: http://diendantoanho...-năm-2016-2017/

[SinCosTan]

Bài 5

Gọi câu thứ là câu đúng cao nhất.

Vậy từ câu n+1 đến câu 2016 phải có ít nhất n câu sai.

Suy ra n nhỏ hơn hoặc bằng 1008.

Xét TH n nhỏ hơn hoặc bằng 1007

      TH1: n câu sai, mà nhỏ hơn hoặc bằng 1007, nên từ n+1 đến 2016 có nhiều hơn 1 câu đúng ( vô lí vì n lớn nhất)

      TH2: câu sai lớn hơn n, vậy sau n vẫn có câu đúng ( vô lí vì n lớn nhất )

Suy ra n lớn hơn 1007

Vậy n=1008

Vậy câu đúng là câu từ 1 đến 1008

[SinCosTan]

Câu 2

Tương tự

Suy ra

Ta lại có m, n là hai số lẽ nên  đồng dư 2 mod 4

Suy ra

Suy ra dpcm

[khanhan2301]

Bài 3: Tư tưởng chung là dùng BĐT $Cauchy-schwarz:$

$$(x^2+yz+zx)(y^2+yz+zx)\geq (xy+yz+zx)^2\Leftrightarrow \frac{xy}{x^2+yz+zx}\leq \frac{xy^3+xy^2z+z^2yz}{(xy+yz+zx)^2}$$

Thiết lập các BĐT tương tự, ta có:

$$\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\leq \sum \frac{xy^3+xy^2z+x^2yz}{(xy+yz+zx)^2}=\frac{(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)}{(xy+yz+zx)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}(\text{đpcm}cho em

cho e hỏi anh áp dụng cosi thế nào mà được kết quả đó vậy ạ