Chủ đề này có 1 trả lời

[hien2000a]

Cho bốn số thực a,b,c,d khác 0 thoả mãn các điều kiện sau: a,b là nghiệm của phương trình:$x^{2}-10cx-11d$=0; c,d là 2 nghiệm của phương trình $x^{2}-10ax-11b=0$ 

Tính giá trị của biểu thức S=a+b+c+d

[IMOer]

Theo Viet ta có: $\left\{\begin{aligned}a+b=10c\\ab=-11d\end{aligned}\right.$ và $\left\{\begin{aligned}c+d=10a\\cd=-11b\end{aligned}\right.$.

Khi đó ta có: $abcd=121bd$, mà $b,d\ne0$ nên $ac=121$.

Ta có: $a+b+c+d=10(a+c)\Rightarrow b+d=9(a+c)$.

Lại có: $a^2-10ac-11d+c^2-10ac-11b=0\Leftrightarrow (a+c)^2-22ac-11(b+d)=0$

$\Leftrightarrow (a+c)^2-99(a+c)-2662=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}a+c=121\\a+c=-22\end{aligned}\right.$

Với $a+c=-22$ thì ta suy ra được: $a=c=-11$, khi đó dễ dàng suy ra: $b=d=-99$ (thoả mãn), khi đó: $a+b+c+d=-220$.

Với $a+c=121$ thì ta suy ra được: $b+d=1089$ (thoả mãn), khi đó: $a+b+c+d=1210$.

Vậy $S=-220$ hoặc $S=1210$.