Chủ đề này có 4 trả lời

[Radioactive]

Cho a,b là 2 số dương thỏa mãn a+b=1.CMR:

$\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{b^{2}}{b+1}\geq \frac{1}{3}$

[VermouthS]

Áp dụng BĐT Cộng mẫu ta có ngay đpcm. 

$\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{b^{2}}{b+1}\geq \frac{(a+b)^{2}}{a+b+1+1} = 1/3$ ( do a+b=1 theo gt )

Dấu = xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

[thinhnarutop]

$(\frac{a^{2}}{a+1})+\frac{a+1}{9}\geq \frac{2}{3}a$

$\frac{b^{2}}{b+1}+\frac{b+1}{9}\geq \frac{2}{3}b$

Do đó: $\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{b^{2}}{b+1}\geq \frac{2}{3}(a+b)-\frac{a+b+2}{9}$

vậy $\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{b^{2}}{b+1}\geq \frac{1}{3}$

Dấu = xảy ra <=> a = b= 1/2

[Baoriven]

Cách khác: 

$(a-\frac{1}{2})^2\geq 0\Leftrightarrow \frac{a^2}{a+1}\geq \frac{5}{9}a-\frac{1}{9}$

Suy ra $\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}\geq \frac{5}{9}(a+b)-\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1/2

[quangtohe]

Cho a,b là 2 số dương thỏa mãn a+b=1.CMR:

$\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{b^{2}}{b+1}\geq \frac{1}{3}$

 

Bài này dùng BĐT C-S dạng Engel thôi:

Áp dụng BĐT C-S,ta có:

$\frac{a^{2}}{1+a}+\frac{b^{^{2}}}{1+b}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2+a+b}= \frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a= b= \frac{1}{2}$