Chủ đề này có 1 trả lời

[cool hunter]

Mọi người cho mình hỏi vấn đề về thay tương đương:
Đề bài: Tính $L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-sinx.cosx}{2x^2sinx.cosx}$
Cách 1: $L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{2x-sin2x}{x^2.sin2x}$

Áp dụng L'hôpital ta có:
$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{2-2cos2x}{2x.sin2x+2x^2.cos2x}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{4sin^2x}{2x.sin2x+2x^2.(1-2sin^2x)}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{4x^2}{2x.2x+2x^2.(1-2x^2)}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{4x^2}{6x^2}$

$L=\frac{1}{3}$

Cách 2: Thay tương đương $sinx\sim x$; $cosx\sim1-\frac{x^2}{2}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-x(1-\frac{x^2}{2})}{2x^3 (1-\frac{x^2}{2})}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^3}{2}}{2x^3-x^5}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^3}{2}}{2x^3}$

$L=\frac{1}{4}$

Giải thich dùm mình sự sai khác kết quả của hai cách với.

 

[WhjteShadow]

Mọi người cho mình hỏi vấn đề về thay tương đương:
Đề bài: Tính $L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-sinx.cosx}{2x^2sinx.cosx}$
Cách 1: $L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{2x-sin2x}{x^2.sin2x}$

Áp dụng L'hôpital ta có:
$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{2-2cos2x}{2x.sin2x+2x^2.cos2x}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{4sin^2x}{2x.sin2x+2x^2.(1-2sin^2x)}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{4x^2}{2x.2x+2x^2.(1-2x^2)}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2}.\frac{4x^2}{6x^2}$

$L=\frac{1}{3}$

Cách 2: Thay tương đương $sinx\sim x$; $cosx\sim1-\frac{x^2}{2}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-x(1-\frac{x^2}{2})}{2x^3 (1-\frac{x^2}{2})}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^3}{2}}{2x^3-x^5}$

$L=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^3}{2}}{2x^3}$

$L=\frac{1}{4}$

Giải thich dùm mình sự sai khác kết quả của hai cách với.

Cái khiến c sai ở đây ấy, là $a\sim b,c\sim d$ nhưng chưa chắc $a+b\sim c+d$.

Đầu tiên phải hiểu tương đương là thế nào đã $a(x)~b(x)$ khi $x\to x_0$ được hiểu là $\frac{a(x)}{b(x)}\rightarrow_{x\to x_0} 1$.

Ở trong bài làm cách 2, $\sin x~ x, \cos x~ 1-\frac{x^2}{2}$ nhưng ta lại có $x-\sin x \cos x \rightarrow_{x\to 0} 0$ còn $x-x(1-\frac{x^2}{2})\rightarrow_{x\to 0} \infty$.

Trên thực tế mình chưa bao giờ nghe thấy cách gọi là "thay tương đương", để tính giới hạn kiểu này một cách chắc chắn ta có thể làm cách gần giống với ý tưởng cách 2 là xét khai triển Taylor với phần dư Peano, đại lượng vô cùng bé đi kèm là rất quan trọng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-06-2016 - 23:28