Chủ đề này có 3 trả lời

[Le Dinh Hai]

Chứng minh: $\text{C}_{2n+1}^{n}\vdots 2n+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 13-06-2016 - 11:01

[thinhnarutop]

Đề có sai ko bạn hơi kì kì sao ấy

[Ankh]

Chứng minh: $\text{C}_{2n+1}^{n}\vdots 2n+1$

 Yêu cầu bài toán tương đương với việc chứng minh $\dfrac{(2n)!}{n!(n+1)!}$ là số nguyên với $n$ tự nhiên

 Áp dụng công thức Polignac thì ta cần phải chứng minh

$\left[\dfrac{2n}{p}\right]+\left[\dfrac{2n}{p^2}\right]+...+\left[\dfrac{2n}{p^k}\right]+...\geq \left[\dfrac{n}{p}\right]+\left[\dfrac{n}{p^2}\right]...+\left[\dfrac{n+1}{p}\right]+\left[\dfrac{n+1}{p^2}\right]+...$

 Chú ý là với mọi số thực $x$ thì $[2x]=[x]+\left[x+\dfrac{1}{2}\right]$ cho nên ta chỉ cần chứng minh

$\left[\dfrac{n}{p}+\dfrac{1}{2}\right]+\left[\dfrac{n}{p^2}+\dfrac{1}{2}\right]+...\geq \left[\dfrac{n+1}{p}\right]+\left[\dfrac{n+1}{p^2}\right]+...$

 Tuy nhiên bất đẳng thức trên đúng do mỗi hạng tử tương ứng ở VT luôn lớn hơn hoặc bằng mỗi hạng tử tương ứng ở VP, cụ thể là $\dfrac{n}{p^k}+\dfrac{1}{p^k}\leq \dfrac{n}{p^k}+\dfrac{1}{2}$ với mọi số nguyên tố $p$ và số thực $k$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 13-06-2016 - 11:09

[Hoang Nhat Tuan]

Chứng minh: $\text{C}_{2n+1}^{n}\vdots 2n+1$

Cái này trích ra từ câu $T10/466$ à Đớ, thực ra thì mấu chốt câu nớ dùng bổ đề $LTE$ với định lý $Legendre$ là ra, bước đánh giá ở chỗ phần nguyên hơi "khắm"