Chủ đề này có 5 trả lời

[Nguyenphuctang]

Cho $a,b,c>0 ; abc=1$.CMR: $\sum \frac{a^3+1}{b^2+c^2} \geq a+b+c$ 

Không chứng minh tương đương thử xem nào!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 13-06-2016 - 13:47

[Nguyenphuctang]

Mình chứng minh tương đương thì ra nhưng rất dài còn về phần cm theo bđt phụ chưa nghĩ ra mọi người đưa ra ý kiến đi !

 

                 

[Chris yang]

Mình chứng minh tương đương thì ra nhưng rất dài còn về phần cm theo bđt phụ chưa nghĩ ra mọi người đưa ra ý kiến đi !

 

                 

Thỉnh cách CM tương đương của bạn! Mình sử dụng cũng có quá trình biến đổi tương đương nhưng không dài cho lắm =))

 

Ta đưa về BĐT đồng bậc, tức là với $a,b,c>0$, cần chứng minh

 

$\frac{a^3+abc}{b^2+c^2}+\frac{b^3+abc}{c^2+a^2}+\frac{c^3+abc}{a^2+b^2}\geq a+b+c$

 

$\Leftrightarrow \left ( \frac{a^3+abc}{b^2+c^2}-a \right )+\left ( \frac{b^3+abc}{c^2+a^2}-b \right )+\left ( \frac{c^3+abc}{a^2+b^2}-c \right )\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{a(a-b)(a-c)}{b^2+c^2}+\frac{b(b-c)(b-a)}{c^2+a^2}+\frac{c(c-a)(c-b)}{a^2+b^2}\geq 0$ $(\star)$

 

Giờ thì giả sử $a\geq b\geq c$ thì $\frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{b}{c^2+a^2}$

 

Khi đó, BĐT $(\star)$ hiển nhiên đúng theo BĐT Vornicu- Schur

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

[kienvuhoang]

Thỉnh cách CM tương đương của bạn! Mình sử dụng cũng có quá trình biến đổi tương đương nhưng không dài cho lắm =))

 

Ta đưa về BĐT đồng bậc, tức là với $a,b,c>0$, cần chứng minh

 

$\frac{a^3+abc}{b^2+c^2}+\frac{b^3+abc}{c^2+a^2}+\frac{c^3+abc}{a^2+b^2}\geq a+b+c$

 

$\Leftrightarrow \left ( \frac{a^3+abc}{b^2+c^2}-a \right )+\left ( \frac{b^3+abc}{c^2+a^2}-b \right )+\left ( \frac{c^3+abc}{a^2+b^2}-c \right )\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{a(a-b)(a-c)}{b^2+c^2}+\frac{b(b-c)(b-a)}{c^2+a^2}+\frac{c(c-a)(c-b)}{a^2+b^2}\geq 0$ $(\star)$

 

Giờ thì giả sử $a\geq b\geq c$ thì $\frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{b}{c^2+a^2}$

 

Khi đó, BĐT $(\star)$ hiển nhiên đúng theo BĐT Vornicu- Schur

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Đoạn màu đỏ sai.Mẫu phải là a(b+c);b(c+a);c(a+b) thì phép biến đổi tương đương mới đúng.

[Nguyenphuctang]

Cách của mình nếu ko chứng minh tương đương thì làm sao vậy??

File gửi kèm

•  Document1.pdf   37.97K   129 Số lần tải

[Nguyenngoctu]

Cho $a,b,c>0 ; abc=1$.CMR: $\sum \frac{a^3+1}{b^2+c^2} \geq a+b+c$ 

Không chứng minh tương đương thử xem nào!

Bài này quả thật là bài rất khó. Cách tách ghép cũng rất phức tạp. Bạn có thể giải như sau:

Ta có:

$$\begin{array}{l} \sum {\frac{{{a^3} + 1}}{{{b^2} + {c^2}}}} = \sum {\frac{{a\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + {a^3} - a\left( {{b^2} + {c^2} - bc} \right)}}{{{b^2} + {c^2}}}} \\ = \sum a + \sum {\frac{{{a^3} - a\left( {{b^2} + {c^2} - bc} \right)}}{{{b^2} + {c^2}}}} \\ = \sum a + \sum {\frac{{{a^3}\left( {b + c} \right) - a\left( {{b^3} + {c^3}} \right)}}{{\left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}} \\ = \sum a + \sum {\frac{{ab\left( {{a^2} - {b^2}} \right) + ac\left( {{a^2} - {c^2}} \right)}}{{\left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}} \\ = \sum a + \sum {\frac{{ab\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}} + \sum {\frac{{ac\left( {a + c} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}} \\ = \sum a + \sum {{{\left( {a - b} \right)}^2}\frac{{\sum {{a^2}} + \sum {ab} }}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}} \ge \sum a .\,\, \end{array}$$. Xong!