Cho a,b,c là chiều dài các cạnh của tam giác có chu vi 2p. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a}{p-a}\geq \sum \sqrt{\frac{b+c}{p-a}}$
$\sum \frac{a}{p-a}\geq \sum \sqrt{\frac{b+c}{p-a}}$
Bắt đầu bởi pcfamily, 13-06-2016 - 14:04
#2
Đã gửi 13-06-2016 - 15:33
tuanyeubeo2000
-
- Thành viên
-
- 80 Bài viết
Hạ sĩ
Cho a,b,c là chiều dài các cạnh của tam giác có chu vi 2p. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a}{p-a}\geq \sum \sqrt{\frac{b+c}{p-a}}$
$ Không\quad mất\quad tính\quad tổng\quad quát\quad giả\quad sử\quad a\ge b\ge c->p-a\le p-b\le p-c\\ ->\frac { 1 }{ p-a } \ge \frac { 1 }{ p-b } \ge \frac { 1 }{ p-c } .\quad Nên\quad áp\quad dụng\quad chebyshev\quad ta\quad được\quad :\\ \sum { \frac { a }{ p-a } \ge \frac { (a+b+c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } ) }{ 3 } (*)\\ } \quad \\ Lại\quad có\quad :\sum { \sqrt { \frac { b+c }{ p-a } } \le \sqrt { (2a+2b+2c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } ) } (**)\quad } \\ BĐT\quad đã\quad cho\quad <=>\frac { (a+b+c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } ) }{ 3 } \ge \sqrt { (2a+2b+2c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } ) } \\ Hay\quad :(a+b+c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } )\ge 18.\quad Dễ\quad thấy\quad \\ (a+b+c)(\frac { 1 }{ p-a } +\frac { 1 }{ p-b } +\frac { 1 }{ p-c } )=(a+b+c)(\frac { 2 }{ a+b-c } +\frac { 2 }{ b+c-a } +\frac { 2 }{ c+a-b } )\ge \frac { 18(a+b+c) }{ a+b+c } =18\\ ->dfcm $
- pcfamily và tritanngo99 thích
Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một
Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó
Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
