Chủ đề này có 5 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng: $k=5$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 14-06-2016 - 14:35

[Minhnguyenthe333]

Cho $a,b$ là các số nguyên thoả mãn $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng: $k=5$.

Đề bài hình như là phải thêm điều kiện $a,b\neq 0$
Đặt $x=a+b$ và $y=a-b$
Từ $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}=>\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2-4}=\frac{k}{2}$ $(*)$
$TH1:a$ chẵn và $b$ lẻ$=>k$ là số lẻ
Đặt $d=(x^2+y^2,x^2-y^2-4)$
$=>d=(2x^2-4,2y^2+4)<=>d\mid 2(x^2+y^2)=4(a^2+b^2)$ $(1)$
Mặt khác từ $(*)$ ta cũng có: $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=kd \\ x^2-y^2-4=2d\end{matrix}\right.$
$<=>2x^2-4=d(k+2)<=>2\mid d$ $(2)$
mà $a^2+b^2$ là số lẻ nên từ $(1),(2)$ suy ra $d=2$ hoặc $d=4$
Thay $d=2$ hoặc $d=4$ vào hệ trên và áp dụng giả thiết$=>(a,b)=(\pm 2,\pm 1)$ và $k=5$

$TH2: a,b$ lẻ$=>a=2m+1$ và $b=2n+1<=>k=\frac{2(m^2+n^2+m+n)+1}{2mn+m+n}$ là số lẻ
Tương tự như trên ta có: $d\mid 4(a^2+b^2)=8(2m^2+2n^2+2m+2n+1)$
Và $2x^2-4=(k+2)d<=>2\mid d$ nên $d\in \{2;4;8\}$
Thay vào hệ trên suy ra $(a,b)=(\pm 3,\pm 1)$ và $k=5$
Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 14-06-2016 - 14:32

[O0NgocDuy0O]

Đề bài hình như là phải thêm điều kiện $a,b\neq 0$
Đặt $x=a+b$ và $y=a-b$
Từ $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}=>\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2-4}=\frac{k}{2}$ $(*)$
$TH1:a$ chẵn và $b$ lẻ$=>k$ là số lẻ
Đặt $d=(x^2+y^2,x^2-y^2-4)$
$=>d=(2x^2-4,2y^2+4)<=>d\mid 2(x^2+y^2)=4(a^2+b^2)$ $(1)$
Mặt khác từ $(*)$ ta cũng có: $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=kd \\ x^2-y^2-4=2d\end{matrix}\right.$
$<=>2x^2-4=d(k+2)<=>2\mid d$ $(2)$
mà $a^2+b^2$ là số lẻ nên từ $(1),(2)$ suy ra $d=2$ hoặc $d=4$
Thay $d=2$ hoặc $d=4$ vào hệ trên và áp dụng giả thiết$=>(a,b)=(\pm 2,\pm 1)$ và $k=5$

$TH2: a,b$ lẻ$=>a=2m+1$ và $b=2n+1<=>k=\frac{2(m^2+n^2+m+n)+1}{2mn+m+n}$ là số lẻ
Tương tự như trên ta có: $d\mid 4(a^2+b^2)=8(2m^2+2n^2+2m+2n+1)$
Và $2x^2-4=(k+2)d<=>2\mid d$ nên $d\in \{2;4;8\}$
Thay vào hệ trên suy ra $(a,b)=(\pm 3,\pm 1)$ và $k=5$
Vậy ta có đpcm

À ĐK đúng là $a,b$ nguyên dương. Mình đã sửa lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 14-06-2016 - 14:35

[the unknown]

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng: $k=5$.

Một cách làm khác  :

GIả sử trong các cặp số $(a,b)$ nguyên dương thỏa thì xét cặp $(a,b)$ có tổng $a+b$ nhỏ nhất, và không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b$. Khi đó xét phương trình ẩn $x$: $x^2-x.kb+b^2+k=0$. Hiển nhiên phương trình này có một nghiệm là $a$ và theo định lí Viet thì phương trình có một nghiệm là $t$ thỏa:

$\left\{\begin{matrix} t+a=kb\\ ta=b^2+k\\ \end{matrix}\right.$

Từ đó dễ dàng suy ra $t$ nguyên dương và do tính nhỏ nhất của tổng $a+b$ ta suy ra $t\geq a$, do đó $2t\geq kb\Rightarrow 2at\geq kab\geq kb^2\Rightarrow 2b^2+2k\geq kb^2\Rightarrow b^2\leq \frac{2k}{k-2}$. Mặt khác do AM-GM dễ dàng suy ra $k=\frac{a^2+b^2}{ab-1}\geq \frac{2ab}{ab-1}> 2$ nên $k\geq 3$, suy ra $b^2\leq 6$. Đến đây suy ra $b=2$ hoặc $b=1$, rồi sau đó thử các giá trị này vào phương trình ban đầu tìm $a$ và suy ra được $k=5$ (đpcm).$\blacksquare$

 

P.s: Bằng cách tương tự như trên ta giải quyết được một bài toán quen thuộc sau: Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số nguyên. Chứng minh $k$ là số chính phương.

[thanhan2003]

Cho a,ba,b là các số nguyên dương thoả mãn k=(a²+b²⁾/(a⁢b+1) là số nguyên. Chứng minh rằng: k là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhan2003: 01-03-2018 - 17:41

[Khoa Linh]

Một cách làm khác  :

GIả sử trong các cặp số $(a,b)$ nguyên dương thỏa thì xét cặp $(a,b)$ có tổng $a+b$ nhỏ nhất, và không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b$. Khi đó xét phương trình ẩn $x$: $x^2-x.kb+b^2+k=0$. Hiển nhiên phương trình này có một nghiệm là $a$ và theo định lí Viet thì phương trình có một nghiệm là $t$ thỏa:

$\left\{\begin{matrix} t+a=kb\\ ta=b^2+k\\ \end{matrix}\right.$

Từ đó dễ dàng suy ra $t$ nguyên dương và do tính nhỏ nhất của tổng $a+b$ ta suy ra $t\geq a$, do đó $2t\geq kb\Rightarrow 2at\geq kab\geq kb^2\Rightarrow 2b^2+2k\geq kb^2\Rightarrow b^2\leq \frac{2k}{k-2}$. Mặt khác do AM-GM dễ dàng suy ra $k=\frac{a^2+b^2}{ab-1}\geq \frac{2ab}{ab-1}> 2$ nên $k\geq 3$, suy ra $b^2\leq 6$. Đến đây suy ra $b=2$ hoặc $b=1$, rồi sau đó thử các giá trị này vào phương trình ban đầu tìm $a$ và suy ra được $k=5$ (đpcm).$\blacksquare$

 

P.s: Bằng cách tương tự như trên ta giải quyết được một bài toán quen thuộc sau: Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số nguyên. Chứng minh $k$ là số chính phương.

CHỗ màu đỏ mình không hiểu, nhờ bạn giải thích