Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}$ là số nguyên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Làm BĐT, Hình học phẳng, Tổ hợp

Đã gửi 14-06-2016 - 11:17

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng: $k=5$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 14-06-2016 - 14:35

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#2 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 14-06-2016 - 14:31

Cho $a,b$ là các số nguyên thoả mãn $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng: $k=5$.

Đề bài hình như là phải thêm điều kiện $a,b\neq 0$
Đặt $x=a+b$ và $y=a-b$
Từ $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}=>\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2-4}=\frac{k}{2}$ $(*)$
$TH1:a$ chẵn và $b$ lẻ$=>k$ là số lẻ
Đặt $d=(x^2+y^2,x^2-y^2-4)$
$=>d=(2x^2-4,2y^2+4)<=>d\mid 2(x^2+y^2)=4(a^2+b^2)$ $(1)$
Mặt khác từ $(*)$ ta cũng có: $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=kd \\ x^2-y^2-4=2d\end{matrix}\right.$
$<=>2x^2-4=d(k+2)<=>2\mid d$ $(2)$
mà $a^2+b^2$ là số lẻ nên từ $(1),(2)$ suy ra $d=2$ hoặc $d=4$
Thay $d=2$ hoặc $d=4$ vào hệ trên và áp dụng giả thiết$=>(a,b)=(\pm 2,\pm 1)$ và $k=5$

$TH2: a,b$ lẻ$=>a=2m+1$ và $b=2n+1<=>k=\frac{2(m^2+n^2+m+n)+1}{2mn+m+n}$ là số lẻ
Tương tự như trên ta có: $d\mid 4(a^2+b^2)=8(2m^2+2n^2+2m+2n+1)$
Và $2x^2-4=(k+2)d<=>2\mid d$ nên $d\in \{2;4;8\}$
Thay vào hệ trên suy ra $(a,b)=(\pm 3,\pm 1)$ và $k=5$
Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 14-06-2016 - 14:32


#3 O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Làm BĐT, Hình học phẳng, Tổ hợp

Đã gửi 14-06-2016 - 14:34

Đề bài hình như là phải thêm điều kiện $a,b\neq 0$
Đặt $x=a+b$ và $y=a-b$
Từ $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}=>\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2-4}=\frac{k}{2}$ $(*)$
$TH1:a$ chẵn và $b$ lẻ$=>k$ là số lẻ
Đặt $d=(x^2+y^2,x^2-y^2-4)$
$=>d=(2x^2-4,2y^2+4)<=>d\mid 2(x^2+y^2)=4(a^2+b^2)$ $(1)$
Mặt khác từ $(*)$ ta cũng có: $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=kd \\ x^2-y^2-4=2d\end{matrix}\right.$
$<=>2x^2-4=d(k+2)<=>2\mid d$ $(2)$
mà $a^2+b^2$ là số lẻ nên từ $(1),(2)$ suy ra $d=2$ hoặc $d=4$
Thay $d=2$ hoặc $d=4$ vào hệ trên và áp dụng giả thiết$=>(a,b)=(\pm 2,\pm 1)$ và $k=5$

$TH2: a,b$ lẻ$=>a=2m+1$ và $b=2n+1<=>k=\frac{2(m^2+n^2+m+n)+1}{2mn+m+n}$ là số lẻ
Tương tự như trên ta có: $d\mid 4(a^2+b^2)=8(2m^2+2n^2+2m+2n+1)$
Và $2x^2-4=(k+2)d<=>2\mid d$ nên $d\in \{2;4;8\}$
Thay vào hệ trên suy ra $(a,b)=(\pm 3,\pm 1)$ và $k=5$
Vậy ta có đpcm

À ĐK đúng là $a,b$ nguyên dương. Mình đã sửa lại.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 14-06-2016 - 14:35

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#4 the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nothingness
  • Sở thích:unknown

Đã gửi 14-06-2016 - 20:29

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn $k=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng: $k=5$.

Một cách làm khác  :) :

GIả sử trong các cặp số $(a,b)$ nguyên dương thỏa thì xét cặp $(a,b)$ có tổng $a+b$ nhỏ nhất, và không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b$. Khi đó xét phương trình ẩn $x$: $x^2-x.kb+b^2+k=0$. Hiển nhiên phương trình này có một nghiệm là $a$ và theo định lí Viet thì phương trình có một nghiệm là $t$ thỏa:

$\left\{\begin{matrix} t+a=kb\\ ta=b^2+k\\ \end{matrix}\right.$

Từ đó dễ dàng suy ra $t$ nguyên dương và do tính nhỏ nhất của tổng $a+b$ ta suy ra $t\geq a$, do đó $2t\geq kb\Rightarrow 2at\geq kab\geq kb^2\Rightarrow 2b^2+2k\geq kb^2\Rightarrow b^2\leq \frac{2k}{k-2}$. Mặt khác do AM-GM dễ dàng suy ra $k=\frac{a^2+b^2}{ab-1}\geq \frac{2ab}{ab-1}> 2$ nên $k\geq 3$, suy ra $b^2\leq 6$. Đến đây suy ra $b=2$ hoặc $b=1$, rồi sau đó thử các giá trị này vào phương trình ban đầu tìm $a$ và suy ra được $k=5$ (đpcm).$\blacksquare$

 

P.s: Bằng cách tương tự như trên ta giải quyết được một bài toán quen thuộc sau: Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số nguyên. Chứng minh $k$ là số chính phương.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#5 thanhan2003

thanhan2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT Chuyên PBC
  • Sở thích:Bất đẳng thức

Đã gửi 01-03-2018 - 17:40

Cho a,ba,b là các số nguyên dương thoả mãn k=(a2+b2)/(a⁢b+1) là số nguyên. Chứng minh rằng: k là số chính phương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhan2003: 01-03-2018 - 17:41


#6 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 01-03-2018 - 19:06

Một cách làm khác  :) :

GIả sử trong các cặp số $(a,b)$ nguyên dương thỏa thì xét cặp $(a,b)$ có tổng $a+b$ nhỏ nhất, và không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b$. Khi đó xét phương trình ẩn $x$: $x^2-x.kb+b^2+k=0$. Hiển nhiên phương trình này có một nghiệm là $a$ và theo định lí Viet thì phương trình có một nghiệm là $t$ thỏa:

$\left\{\begin{matrix} t+a=kb\\ ta=b^2+k\\ \end{matrix}\right.$

Từ đó dễ dàng suy ra $t$ nguyên dương và do tính nhỏ nhất của tổng $a+b$ ta suy ra $t\geq a$, do đó $2t\geq kb\Rightarrow 2at\geq kab\geq kb^2\Rightarrow 2b^2+2k\geq kb^2\Rightarrow b^2\leq \frac{2k}{k-2}$. Mặt khác do AM-GM dễ dàng suy ra $k=\frac{a^2+b^2}{ab-1}\geq \frac{2ab}{ab-1}> 2$ nên $k\geq 3$, suy ra $b^2\leq 6$. Đến đây suy ra $b=2$ hoặc $b=1$, rồi sau đó thử các giá trị này vào phương trình ban đầu tìm $a$ và suy ra được $k=5$ (đpcm).$\blacksquare$

 

P.s: Bằng cách tương tự như trên ta giải quyết được một bài toán quen thuộc sau: Cho $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số nguyên. Chứng minh $k$ là số chính phương.

CHỗ màu đỏ mình không hiểu, nhờ bạn giải thích 


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh