Câu 1 : Cho parabol $(P) : y=x^2$ và đường thẳng $d$ có hệ số góc $k$ đi qua điểm $M(0,1)$
a) Chứng minh $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt $A,B$
b) Gọi hoành độ của $A,B$ lần lượt là $x_1,x_2$. Chứng minh $|x_1-x_2| \ge 2$
c) Tam giác $OAB$ là tam giác gì ?
Câu 2 : Tìm các giá trị của $m$ để hệ sau có nghiệm :
$\begin{cases} &x^2+x+m-2=0&\\&x^2+(m-2)x+8=0& \end{cases}$
Câu 3 : Cho $a,b \ne 0$ thỏa $a+b=1$. Chứng minh :
$\frac{a}{b^3-1}+\frac{b}{a^3-1}=\frac{2(ab-2)}{a^2b^2+3}$
Câu 4 : Cho $a,b \in \mathbb{Z}$ . Chứng minh
a) $ab(a^2-b^2) \vdots 6$
b) $ab(a^2+b^2)(a^2-b^2) \vdots 5$
Câu 5 : Cho $M$ di động trên đoạn $AB$ cố định. Vẽ tia $Mx \perp AB$ . Trên $Mx$ lấy $C,D$ sao cho $MC=MA,MD=MB$. Vẽ các đường tròn đường kính $AC$ và $BD$ và chúng giao nhau tại $M,N$
a) Chứng minh $B,N,C$ thẳng hàng và $A,N,D$ thẳng hàng
b) Chứng minh $MN$ luôn đi qua một điểm cố định
c) Cho $O$ là trung điểm $AB$. Tìm vị trí của $M$ trên đoạn $OB$ để mà $DA.DN$ lớn nhất
Câu 6 : Cho $x,y \ge 0$ thỏa $x+y=1$. Chứng minh :
$3 \le \sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1} \le \sqrt{10}$
Đề chuyên Đại Học Khoa Học Huế 2016-2017
#1
Đã gửi 14-06-2016 - 16:30
- A piece of life, Element hero Neos, Hannie và 3 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 14-06-2016 - 16:55
Câu 4:
a) $ab(a^{2}-b^{2})=ab(a^{2}-1+1-b^{2})=ab(a-1)(a+1)-ab(b-1)(b+1)$
Ta có: $a(a+1)(a-1)\vdots 6\Rightarrow ab(a+1)(a-1)$ (tích ba số nguyên liên tiếp)
$b(b-1)(b+1)\vdots 6\Rightarrow ab(b-1)(b+1)$ (tích ba số nguyên liên tiếp)
Vậy ab(a2 - b2) chia hết cho 6
b) $ab(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})=ab(a^{4}-b^{4})=ab(a-1)(a+1)(a^{2}+1)-ab(b-1)(b+1)(b^{2}+1)$
Ta có: $ab(a-1)(a+1)(a^{2}+1)=ab(a-1)(a+1)(a^{2}-4+5)=(a-2)(a-1)ab(a+1)(a+2)+5ab(a-1)(a+1)\vdots 5$
tương tự: $ab(b-1)(b+1)(b^{2}+1)\vdots 5$
Vậy đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhnarutop: 14-06-2016 - 16:59
- kunsomeone và Baoriven thích
"Life would be tragic if it weren't funny"
-Stephen Hawking-
#3
Đã gửi 14-06-2016 - 16:57
Câu 4 : Cho $a,b \in \mathbb{Z}$ . Chứng minh
a) $ab(a^2-b^2) \vdots 6$
b) $ab(a^2+b^2)(a^2-b^2) \vdots 5$
a) Xét $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì $a^2-b^2$ chia hết cho 2 nên $ab(a^2-b^2) \vdots 2$
Xét $a,b$ khác tính chẵn lẻ thì $ab$ chẵn nên $ab(a^2-b^2) \vdots 2$
Vậy $ab(a^2-b^2) \vdots 2$
Xét $a,b$ cùng không chia hết cho 3 thì $a^2$ và $b^2$ cùng chia $3$ dư 1, nghĩa là $a^2-b^2$ chia hết cho 3 nên $ab(a^2-b^2) \vdots 3$
Xét trong 2 số a,b có ít nhất một số chia hết cho $3$ thì $ab$ chia hết cho 3 nên $ab(a^2-b^2) \vdots 3$
Vậy $ab(a^2-b^2) \vdots 3$
KL: $ab(a^2-b^2) \vdots 6$
b) Xét trong 2 số $a,b$ có ít nhất một số chia hết cho $5$ thì $ab$ chia hết cho $5$ nên $ab(a^2+b^2)(a^2-b^2) \vdots 5$
Xét $a,b$ đều không chia hết cho $5$ thì $a^2$ và $b^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$, nghĩa là hoặc $a^2+b^2$ hoặc $a^2-b^2$ chia hết cho $5$
Vậy: $ab(a^2+b^2)(a^2-b^2) \vdots 5$
PS: đề khó mà hay
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oo Nguyen Hoang Nguyen oO: 14-06-2016 - 16:58
Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.
Perfect numbers like perfect men, are very rare.
TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$
#4
Đã gửi 14-06-2016 - 17:03
Câu 6 : Ta có $\sum \sqrt{3x+1}\leq \sqrt{2(3+2)}$=\sqrt{10}$ (AM-GM)$
$\sum \sqrt{3x+1}\geq 3\Leftrightarrow xy\geq$ 0(Đúng)
vậy bài toán được chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minh Hieu Hoang: 14-06-2016 - 17:04
#5
Đã gửi 14-06-2016 - 17:05
Câu 6:
*) cm $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\geq 3$
Giả sử $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\geq 3$
$\Leftrightarrow \sqrt{(3x+1)(3y+1)}\geq 2$
$\Leftrightarrow 9xy \geq 0$ (đúng)
Vậy đươc đpcm. Dấu = xảy ra <=> x = 0, y = 1 hoặc ngược lại
+) cm $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq \sqrt{10}$
Áp dụng B-C-S ta được:
$(\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1})^{2}\leq (1^{2}+1^{2})(3x+1+3y+1)=10$
Do đó: $\sqrt{3x+1}+\sqrt{3y+1}\leq \sqrt{10}$
- Baoriven yêu thích
"Life would be tragic if it weren't funny"
-Stephen Hawking-
#6
Đã gửi 14-06-2016 - 17:44
Câu 5:
b)Gọi giao điểm giữa đường trung trực AB và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANB là I
Suy ra tứ giác ANBI nội tiếp và IA=IB
$\rightarrow \angle AIB=90^{o}\rightarrow \Delta AIB$ vuông cân tại I$\rightarrow \angle INB=\angle IAB=45^{o}$
Ta có:
$\angle BNM=\angle BNI=45^{o}$ nên N,M,I thẳng hàng
Mà tam giác AIB vuông cân tại I nên I cố định
Suy ra MN luôn đi qua I là điểm cố đinh
c)$\Delta ADM\sim \Delta CDN\rightarrow \frac{AD}{DN}=\frac{CD}{DN}\rightarrow AD.DN=MD.DC=MB.(MC-MD)=MB.(MA-MB)=\frac{1}{2}.2MB(MA-MB)\leq \frac{1}{2}.\frac{(2MB+MA-MB)^{2}}{4}=\frac{1}{8}.AB^{2}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2MB=MA-MB$\Leftrightarrow MA=3MB$
- nntien và kunsomeone thích
#7
Đã gửi 14-06-2016 - 18:00
Câu 3:
$\frac{a}{b^{3}-1}+\frac{b}{a^{3}-1}=\frac{a^{4}-a+b^{4}-b}{(a^{3}-1)(b^{3}-1)}$
$=\frac{4ab(a^{2}+b^{2})-6a^{2}b^{2}}{(ab)^{3}+3ab}=\frac{2a^{2}b^{2}-4ab}{ab(a^{2}b^{2}+3)}=\frac{2(ab-2)}{a^{2}b^{2}+3}$
P/s: Cái Latex bị sao vậy nhỉ????
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 15-06-2016 - 07:48
- kunsomeone và goopd thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh