Chủ đề này có 6 trả lời

[buiminhhieu]

$1)\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y\sqrt{\frac{x^{2}-1}{y}}=1+4y & \\ \sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+y-x^{2}}=y& \end{matrix}\right.$

$2)\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+y}+\sqrt{2x+7y} =10& \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}})=2& \end{matrix}\right.$

$3)\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}+2(x+y-xy)=4 & \\ x\sqrt{x^{2}+3xy}+y\sqrt{y^{2}+3xy}=4& \end{matrix}\right.$

$4)\left\{\begin{matrix} xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 & \\ \frac{xy}{1+y}+\frac{1}{xy+y}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}& \end{matrix}\right.$

$5)\left\{\begin{matrix} 9y^{2}(x+3y)=1-x^{3}y^{3} & \\ \sqrt{x^{2}+1}=y+2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

$6)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^{2}+7x+12$

[leminhnghiatt]

$6)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^{2}+7x+12$

 

ĐK: $x \geq -2$

 

$$(x+1)(\sqrt{x+2}-2)+(x+6)(\sqrt{x+7}-3)=x^2+2x-8$$

 

$$\iff \dfrac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{(x+6)(x-2)}{\sqrt{x+7}+3}=(x-2)(x+4)$$

 

$$\iff (x-2)[\dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}-(x+4)]=0$$

 

$$\iff \left[\begin{matrix} x=2 \\ \dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}-(x+4)=0 \end{matrix}\right.$$

 

Xét vế sau:

 

$$\dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\dfrac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}-(x+4)=0$$

 

$$\iff (\dfrac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}-\dfrac{x+4}{2})+(\dfrac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}-\dfrac{x+4}{2})=0$$

 

$$\iff \dfrac{-6-(x+4)\sqrt{x+2}}{A}+\dfrac{-x-(x+4)\sqrt{x+7}}{B}=0$$

 

Vô nghiệm vì $VT<VP$ với mọi $x \geq -2$

[nguyenhongsonk612]

$6)(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}=x^{2}+7x+12$

Giải:

ĐKXĐ: $x\geqslant -2$

PT $\Leftrightarrow x^2+7x+12-(x+1)\sqrt{x+2}-(x+6)\sqrt{x+7}=0$

     $\Leftrightarrow (x+1)\begin{pmatrix} \frac{x+4}{3}-\sqrt{x+2} \end{pmatrix}+(x+6)\begin{pmatrix} \frac{x+10}{4}-\sqrt{x+7} \end{pmatrix}-\frac{(x+1)(x+4)}{3}-\frac{(x+6)(x+10)}{4}+x^2+7x+12=0$

     $\Leftrightarrow (x+1)\begin{pmatrix} \frac{x^2-x-2}{3(x+4)+9\sqrt{x+2}} \end{pmatrix}+(x+6)\begin{pmatrix} \frac{x^2+4x-12}{4(x+16)+16\sqrt{x+7}} \end{pmatrix}+\frac{5x^2+16x-52}{12}=0$

     $\Leftrightarrow (x-2)\begin{bmatrix} \frac{(x+1)^2}{3(x+4)+9\sqrt{x+2}}+\frac{(x+6)^2}{4(x+16)+16\sqrt{x+7}}+\frac{5x+26}{12} \end{bmatrix}=0$

Vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với $x\geqslant -2$

$\Rightarrow x=2$ (tmđk)

Vậy pt có tập nghiệm $S=\begin{Bmatrix} 2 \end{Bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 15-06-2016 - 16:16

[nguyenhongsonk612]

$2)\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+y}+\sqrt{2x+7y} =10& \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}})=2& \end{matrix}\right.$

 

Giải:

ĐK: $x,y \geqslant 0$

PT (2) $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+3y}}+\sqrt{\frac{y}{x+3y}}+\sqrt{\frac{y}{3y+x}}+\sqrt{\frac{x}{3x+y}}=2$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$\sqrt{\frac{x}{x+3y}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x+y}{x+3y}}\leqslant \frac{\frac{x}{x+y}+\frac{x+y}{x+3y}}{2}$

$\sqrt{\frac{y}{x+3y}}=\sqrt{\frac{2y}{x+3y}.\frac{1}{2}}\leqslant \frac{\frac{2y}{x+3y}+\frac{1}{2}}{2}$

$\sqrt{\frac{y}{3x+y}}=\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{x+y}{3x+y}}\leqslant \frac{\frac{y}{x+y}+\frac{x+y}{3x+y}}{2}$

$\sqrt{\frac{x}{3x+y}}=\sqrt{\frac{2x}{3x+y}.\frac{1}{2}}\leqslant \frac{\frac{2x}{3x+y}+\frac{1}{2}}{2}$

$\Rightarrow VT\leqslant \frac{\frac{x+y}{x+y}+\frac{x+3y}{x+3y}+\frac{3x+y}{3x+y}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{2}=2=VP$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

Thay vào PT(1), ta được $\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\Rightarrow y=4$ (tm)

Vậy hpt có nghiệm $(x;y)=(4;4)$

[leminhnghiatt]

$2)\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+y}+\sqrt{2x+7y} =10& \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{3x+y}})=2& \end{matrix}\right.$

 

ĐK: $x \geq 0; y\geq 0$

 

$$(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{3x+y}+\sqrt{x+3y})=2\sqrt{3x^2+10xy+3y^2}$$

 

$$VT \leq (\sqrt{x}+\sqrt{y}).2\sqrt{2x+2y}=2\sqrt{2x^2+2xy}+2\sqrt{2xy+2y^2}$$

 

Ta sẽ cm: $$\sqrt{2x^2+2xy}+\sqrt{2xy+2y^2} \leq \sqrt{3x^2+10xy+3y^2}$$

 

Bình phương 2 lần ta được:

 

$$ (x-y)^4 \geq 0$$ (luôn đúng)

 

Dấu "=" xảy ra khi: $x=y$

 

Đến đây thay vào pt (1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 15-06-2016 - 16:32

[leminhnghiatt]

$1)\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y\sqrt{\frac{x^{2}-1}{y}}=1+4y & \\ \sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x+y-x^{2}}=y& \end{matrix}\right.$

 

ĐK: $y \not =0$

 

$$(1) \iff x^2+3\sqrt{y(x^2-1)}=1+4y$$

 

$$\iff (x^2-1)+3\sqrt{y(x^2-1)}-4y=0$$

 

$$\iff (\sqrt{x^2-1}-\sqrt{y})(\sqrt{x^2-1}+4\sqrt{y})=0$$

 

$$\iff x^2-1=y$$

 

Thay xuống pt (2) ta có: ĐK($x \geq 1$)

 

$$\sqrt[3]{x+6}+\sqrt{x-1}=x^2-1$$

 

$$\iff (x^2-4)+(1-\sqrt{x-1})+(2-\sqrt[3]{x+6})=0$$

 

$$\iff (x-2)(x+2-\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x+6}^2+2\sqrt[3]{x+6}+4})=0$$

 

$$\iff \left[\begin{matrix} x=2 \\ x+2-\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x+6}^2+2\sqrt[3]{x+6}+4}=0 \end{matrix}\right.$$

 

Xét phần sau:

 

$$(\dfrac{x+2}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1})+(\dfrac{x+2}{2}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x+6}^2+2\sqrt[3]{x+6}+4})=0$$

 

$$\iff \dfrac{\dfrac{x}{2}\sqrt{x-1}+\dfrac{x}{2}}{A}+\dfrac{\dfrac{x+2}{2}(\sqrt[3]{x+6}^2+2\sqrt[3]{x+6})+2x+3}{B}=0$$

 

Vô nghiệm vì $VT>VP$ với mọi $x \geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 16-06-2016 - 10:14

[nguyenhongsonk612]

 

$4)\left\{\begin{matrix} xy+6y\sqrt{x-1}+12y=4 & \\ \frac{xy}{1+y}+\frac{1}{xy+y}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}& \end{matrix}\right.$

 

Giải:

ĐKXĐ: $x\geqslant 1;y> 0$

Ta sẽ C/m VT(2) $\geqslant $ VP(2)

(2) $\Leftrightarrow \frac{x}{\frac{1}{y}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{x+1}=\frac{2\sqrt{\frac{x}{y}}}{\sqrt{\frac{x}{y}}+1}$

Đặt $\sqrt{x}=a;\frac{1}{\sqrt{y}}=b$ $(a,b >0)$

$\Rightarrow \frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{a^2+1}= \frac{2ab}{ab+1}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$VT=\frac{a^4}{a^2(b^2+1)}+\frac{b^4}{b^2(a^2+1)}\geqslant \frac{(a^2+b^2)^2}{2a^2b^2+a^2+b^2}$

$\geqslant \frac{2ab(a^2+b^2)}{2a^2b^2+a^2+b^2}=2ab\begin{pmatrix} 1-\frac{2a^2b^2}{2a^2b^2+a^2+b^2} \end{pmatrix}$

$\geqslant 2ab\begin{pmatrix} 1-\frac{2a^2b^2}{2a^2b^2+2ab} \end{pmatrix}=\frac{2ab}{ab+1}=VT$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ $\Leftrightarrow xy=1$

Đến đây rút $y$ ra thay vào PT(1) thì sẽ được một phương trình vô tỉ rất đơn giản...