Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$0<\frac{a_j-a_k}{1+a_ja_k}<\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$

số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 15-06-2016 - 17:06

Cho 13 số thực $a_1,a_2,...a_{13}$ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại $a_j$ và $a_k,1\le j,k \le 13$ sao cho

$0<\frac{a_j-a_k}{1+a_ja_k}<\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2 the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nothingness
  • Sở thích:unknown

Đã gửi 15-06-2016 - 20:32

Cho 13 số thực $a_1,a_2,...a_{13}$ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại $a_j$ và $a_k,1\le j,k \le 13$ sao cho

$0<\frac{a_j-a_k}{1+a_ja_k}<\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$

Một cách làm hơi lương giác một tí  :D :

Đặt $a_i=tan x_i$ với $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2})$. không mất tính tổng quát ta giả sử $a_1<a_2<...<a_{13}$. Khi đó ta có $-\frac{\pi}{2}<x_1<x_2<x_3<...<x_{13}<\frac{\pi}{2}<x_1+\pi$. Khi đó dễ thấy đoạn $[x_1,x_1+\pi]$ chia thành 13 đoạn bởi $x_2,x_3,...,x_{13}$ nên tồn tại một đoạn có độ dài không vượt quá $\frac{\pi}{13}$. Xét hai trường hợp:

TH1: Nếu có đoạn $[x_{i-1},x_i]$ có độ dài nhỏ hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_i-x_{i-1}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow 0<tan(x_i-x_{i-1})<tan\frac{\pi}{12}$.

TH2: Nếu chỉ có đoạn $[x_{13},x_1+\pi]$ có đội dài bé hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_1+\pi-x_{13}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow 0<tan(x_1+\pi-x_{13})<tan{\frac{\pi}{12}}\Rightarrow 0<tan(x_{1}-x_{13})<tan{\frac{\pi}{12}}$.

Như vậy tồn tại hai số $i,j$ để $0<tan(x_i-x_j)<\frac{\pi}{12}$. Để ý rằng $tan(x_i-x_j)=\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}$ và $tan\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 16-06-2016 - 07:44

$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#3 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 15-06-2016 - 22:00

Một cách làm hơi lương giác một tí  :D :
Đặt $a_i=tan x_i$ với $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2})$. không mất tính tổng quát ta giả sử $a_1<a_2<...<a_{13}$. Khi đó ta có $-\frac{\pi}{2}<x_1<x_2<x_3<...<x_{13}<\frac{\pi}{2}<x_1+\pi$. Khi đó dễ thấy đoạn $[x_1,x_1+\pi]$ chia thành 13 đoạn bởi $x_2,x_3,...,x_{13}$ nên tồn tại một đoạn có độ dài không vượt quá $\frac{\pi}{13}$. Xét hai trường hợp:
TH1: Nếu có đoạn $[x_{i-1},x_i]$ có độ dài nhỏ hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_i-x_{i-1}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow 0<tan(x_i-x_{i-1})<tan\frac{\pi}{12}$.
TH2: Nếu chỉ có đoạn $[x_{13},x_1+\pi]$ có đội dài bé hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_1+\pi-x_{13}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow tan(x_1+\pi-x_{13})<tan{\frac{\pi}{12}}\Rightarrow tan(x_{13}-x_1)<tan{\frac{\pi}{12}}$.
Như vậy tồn tại hai số $i,j$ để $0<tan(x_i-x_j)<\frac{\pi}{12}$. Để ý rằng $tan(x_i-x_j)=\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}$ và $tan\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Spoiler


Bài làm của bạn rất hay

                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#4 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 20-08-2016 - 18:26

Bài này đã là một bài MO năm 2016 đã được viết trên bài viết của anh Huyện trên VMF với đề bài đã được phát triển!

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh