Chủ đề này có 3 trả lời

[TanSan26]

Cho 13 số thực $a_1,a_2,...a_{13}$ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại $a_j$ và $a_k,1\le j,k \le 13$ sao cho

$0<\frac{a_j-a_k}{1+a_ja_k}<\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$

[the unknown]

Cho 13 số thực $a_1,a_2,...a_{13}$ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại $a_j$ và $a_k,1\le j,k \le 13$ sao cho

$0<\frac{a_j-a_k}{1+a_ja_k}<\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$

Một cách làm hơi lương giác một tí  :

Đặt $a_i=tan x_i$ với $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2})$. không mất tính tổng quát ta giả sử $a_1<a_2<...<a_{13}$. Khi đó ta có $-\frac{\pi}{2}<x_1<x_2<x_3<...<x_{13}<\frac{\pi}{2}<x_1+\pi$. Khi đó dễ thấy đoạn $[x_1,x_1+\pi]$ chia thành 13 đoạn bởi $x_2,x_3,...,x_{13}$ nên tồn tại một đoạn có độ dài không vượt quá $\frac{\pi}{13}$. Xét hai trường hợp:

TH1: Nếu có đoạn $[x_{i-1},x_i]$ có độ dài nhỏ hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_i-x_{i-1}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow 0<tan(x_i-x_{i-1})<tan\frac{\pi}{12}$.

TH2: Nếu chỉ có đoạn $[x_{13},x_1+\pi]$ có đội dài bé hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_1+\pi-x_{13}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow 0<tan(x_1+\pi-x_{13})<tan{\frac{\pi}{12}}\Rightarrow 0<tan(x_{1}-x_{13})<tan{\frac{\pi}{12}}$.

Như vậy tồn tại hai số $i,j$ để $0<tan(x_i-x_j)<\frac{\pi}{12}$. Để ý rằng $tan(x_i-x_j)=\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}$ và $tan\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Spoiler

Kiến thức về lượng giác của em chưa được vững lắm, có sai sót mong các anh chị góp ý 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 16-06-2016 - 07:44

[TanSan26]

Một cách làm hơi lương giác một tí  :
Đặt $a_i=tan x_i$ với $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2})$. không mất tính tổng quát ta giả sử $a_1<a_2<...<a_{13}$. Khi đó ta có $-\frac{\pi}{2}<x_1<x_2<x_3<...<x_{13}<\frac{\pi}{2}<x_1+\pi$. Khi đó dễ thấy đoạn $[x_1,x_1+\pi]$ chia thành 13 đoạn bởi $x_2,x_3,...,x_{13}$ nên tồn tại một đoạn có độ dài không vượt quá $\frac{\pi}{13}$. Xét hai trường hợp:
TH1: Nếu có đoạn $[x_{i-1},x_i]$ có độ dài nhỏ hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_i-x_{i-1}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow 0<tan(x_i-x_{i-1})<tan\frac{\pi}{12}$.
TH2: Nếu chỉ có đoạn $[x_{13},x_1+\pi]$ có đội dài bé hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_1+\pi-x_{13}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow tan(x_1+\pi-x_{13})<tan{\frac{\pi}{12}}\Rightarrow tan(x_{13}-x_1)<tan{\frac{\pi}{12}}$.
Như vậy tồn tại hai số $i,j$ để $0<tan(x_i-x_j)<\frac{\pi}{12}$. Để ý rằng $tan(x_i-x_j)=\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}$ và $tan\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Spoiler

Kiến thức về lượng giác của em chưa được vững lắm, có sai sót mong các anh chị góp ý 

Bài làm của bạn rất hay

[minhrongcon2000]

Bài này đã là một bài MO năm 2016 đã được viết trên bài viết của anh Huyện trên VMF với đề bài đã được phát triển!