Cho 13 số thực $a_1,a_2,...a_{13}$ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại $a_j$ và $a_k,1\le j,k \le 13$ sao cho
$0<\frac{a_j-a_k}{1+a_ja_k}<\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$
Cho 13 số thực $a_1,a_2,...a_{13}$ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại $a_j$ và $a_k,1\le j,k \le 13$ sao cho
$0<\frac{a_j-a_k}{1+a_ja_k}<\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$
A vẩu
Cho 13 số thực $a_1,a_2,...a_{13}$ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại $a_j$ và $a_k,1\le j,k \le 13$ sao cho
$0<\frac{a_j-a_k}{1+a_ja_k}<\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$
Một cách làm hơi lương giác một tí :
Đặt $a_i=tan x_i$ với $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2})$. không mất tính tổng quát ta giả sử $a_1<a_2<...<a_{13}$. Khi đó ta có $-\frac{\pi}{2}<x_1<x_2<x_3<...<x_{13}<\frac{\pi}{2}<x_1+\pi$. Khi đó dễ thấy đoạn $[x_1,x_1+\pi]$ chia thành 13 đoạn bởi $x_2,x_3,...,x_{13}$ nên tồn tại một đoạn có độ dài không vượt quá $\frac{\pi}{13}$. Xét hai trường hợp:
TH1: Nếu có đoạn $[x_{i-1},x_i]$ có độ dài nhỏ hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_i-x_{i-1}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow 0<tan(x_i-x_{i-1})<tan\frac{\pi}{12}$.
TH2: Nếu chỉ có đoạn $[x_{13},x_1+\pi]$ có đội dài bé hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_1+\pi-x_{13}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow 0<tan(x_1+\pi-x_{13})<tan{\frac{\pi}{12}}\Rightarrow 0<tan(x_{1}-x_{13})<tan{\frac{\pi}{12}}$.
Như vậy tồn tại hai số $i,j$ để $0<tan(x_i-x_j)<\frac{\pi}{12}$. Để ý rằng $tan(x_i-x_j)=\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}$ và $tan\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 16-06-2016 - 07:44
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
Một cách làm hơi lương giác một tí :
Đặt $a_i=tan x_i$ với $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2})$. không mất tính tổng quát ta giả sử $a_1<a_2<...<a_{13}$. Khi đó ta có $-\frac{\pi}{2}<x_1<x_2<x_3<...<x_{13}<\frac{\pi}{2}<x_1+\pi$. Khi đó dễ thấy đoạn $[x_1,x_1+\pi]$ chia thành 13 đoạn bởi $x_2,x_3,...,x_{13}$ nên tồn tại một đoạn có độ dài không vượt quá $\frac{\pi}{13}$. Xét hai trường hợp:
TH1: Nếu có đoạn $[x_{i-1},x_i]$ có độ dài nhỏ hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_i-x_{i-1}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow 0<tan(x_i-x_{i-1})<tan\frac{\pi}{12}$.
TH2: Nếu chỉ có đoạn $[x_{13},x_1+\pi]$ có đội dài bé hơn $\frac{\pi}{13}$, khi đó ta có: $0<x_1+\pi-x_{13}<\frac{\pi}{12}\Rightarrow tan(x_1+\pi-x_{13})<tan{\frac{\pi}{12}}\Rightarrow tan(x_{13}-x_1)<tan{\frac{\pi}{12}}$.
Như vậy tồn tại hai số $i,j$ để $0<tan(x_i-x_j)<\frac{\pi}{12}$. Để ý rằng $tan(x_i-x_j)=\frac{a_i-a_j}{1+a_ia_j}$ và $tan\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Spoiler
A vẩu
$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh