Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm min của M=$\frac{1}{3}((a+b)^{3}+c^{3})+\frac{a^{2}b^{2}c^{2}-3a^{2}b-3ab^{2}}{3}$
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm min của M=$\frac{1}{3}((a+b)^{3}+c^{3})+\frac{a^{2}b^{2}c^{2}-3a^{2}b-3ab^{2}}{3}$
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm min của M=$\frac{1}{3}((a+b)^{3}+c^{3})+\frac{a^{2}b^{2}c^{2}-3a^{2}b-3ab^{2}}{3}$
Giải:
$M=\frac{a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+a^2b^2c^2-3ab(a+b)}{3}=\frac{a^3+b^3+c^3+a^2b^2c^2}{3}$
Ta C/m $M\geqslant \frac{4}{3}$$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+a^2b^2c^2\geqslant 4$
Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$ $(p,q,r>0)$
BĐT C/m $\Leftrightarrow p^3-3pq+3r+r^2\geqslant 4\Leftrightarrow 27-9q+r^2+3r\geqslant 4$
$\Leftrightarrow r^2+3r-9q+23\geq 0$ (*)
Áp dụng BĐT Schur bậc $3$
$a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow p^3-4pq+9r\geq 0$
$\Rightarrow q\leq \frac{3r+9}{4}$
$\Rightarrow$ VT(*) $\geqslant r^2-\frac{15}{4}r+\frac{11}{4}\Leftrightarrow (r-1)\begin{pmatrix} r-\frac{11}{4} \end{pmatrix}\geqslant 0$
(Do r=abc$\leqslant \begin{pmatrix} \frac{a+b+c}{3} \end{pmatrix}^3=1$)
Vậy BĐT được C/m
Min $P$$=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 15-06-2016 - 18:02
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm min của M=$\frac{1}{3}((a+b)^{3}+c^{3})+\frac{a^{2}b^{2}c^{2}-3a^{2}b-3ab^{2}}{3}$
$$abc \leq \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=1$$
$$M=\dfrac{a^3+b^3+c^3+a^2b^2c^2}{3}=\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+a^2b^2c^2+3abc}{3}$$
$$=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+\dfrac{a^2b^2c^2+3abc}{3}$$
$$\geq \dfrac{a^2b^2c^2+3abc}{3}$$
Đặt $t=abc \rightarrow t \in (0;3]$
$$\iff P=\dfrac{t^2+3t}{3}$$
$$\iff P'=\dfrac{2t}{3}+1 \rightarrow t=-\dfrac{3}{2} \not \in [0;3]$$
Đến đây nếu khảo sát hàm số liệu ổn k ak?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 15-06-2016 - 19:39
Don't care
$$abc \leq \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=1$$
$$M=\dfrac{a^3+b^3+c^3+a^2b^2c^2+3abc}{3}$$=\dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+a^2b^2c^2+3abc}{3}$$
$$=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+\dfrac{a^2b^2c^2+3abc}{3}$$
$$\geq \dfrac{a^2b^2c^2+3abc}{3}$$
Đặt $t=abc \rightarrow t \in (0;3]$
$$\iff P=\dfrac{t^2+3t}{3}$$
$$\iff P'=\dfrac{2t}{3}+1 \rightarrow t=-\dfrac{3}{2} \not \in [0;3]$$
Đến đây nếu khảo sát hàm số liệu ổn k ak?
Cái chỗ bôi đỏ hình như có vấn đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 15-06-2016 - 19:14
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Cái chỗ bôi đỏ hình như có vấn đề
e bị thừa $3abc$, anh xem cho e chỗ đạo hàm đc không, chỗ đấy e chưa vững mấy
Don't care
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh