Chủ đề này có 3 trả lời

[quangtq1998]

Cho $ a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2 +b^2= (c+1)^2 $

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
$P  = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + 12\sqrt{c+3}$

[tungteng532000]

Cho $ a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2 +b^2= (c+1)^2 $

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
$P  = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + 12\sqrt{c+3}$

Ta có: $P\geq \frac{4}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2}+12\sqrt{c+3}=\frac{4}{(c+1)^2}+\frac{1}{c^2}+12\sqrt{c+3}$
Áp dụng bđt $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$, ta có:
$\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{1}{4}\geq \frac{8}{(c+3)^2}\Rightarrow \frac{4}{(c+1)^2}\geq \frac{32}{(c+3)^2}-1$
Áp dụng bđt C-S, ta được:
$(\frac{1}{c^2}+3)(1+3)\geq (\frac{1}{c}+3)^2=(\frac{1}{c}+\frac{9}{3})^2\geq \frac{256}{(c+3)2}\Rightarrow \frac{1}{c^2}\geq \frac{64}{(c+3)^2}-3$
Do đó $P\geq \frac{96}{(c+3)^2}+3\sqrt{c+3}+3\sqrt{c+3}+3\sqrt{c+3}+3\sqrt{c+3}-4\geq 30-4=26$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

[kienvuhoang]

Ta có: $P\geq \frac{4}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2}+12\sqrt{c+3}=\frac{4}{(c+1)^2}+\frac{1}{c^2}+12\sqrt{c+3}$
Áp dụng bđt $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$, ta có:
$\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{1}{4}\geq \frac{8}{(c+3)^2}\Rightarrow \frac{4}{(c+1)^2}\geq \frac{32}{(c+3)^2}-1$
Áp dụng bđt C-S, ta được:
$(\frac{1}{c^2}+3)(1+3)\geq (\frac{1}{c}+3)^2=(\frac{1}{c}+\frac{9}{3})^2\geq \frac{256}{(c+3)2}\Rightarrow \frac{1}{c^2}\geq \frac{64}{(c+3)^2}-3$
Do đó $P\geq \frac{96}{(c+3)^2}+3\sqrt{c+3}+3\sqrt{c+3}+3\sqrt{c+3}+3\sqrt{c+3}-4\geq 30-4=26$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2};c=1$ chứ

[tungteng532000]

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2};c=1$ chứ

Cảm ơn bạn  Mình ko để ý