Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Cho 2 số thực $x,y$ thỏa mãn: $x^2+y^2=2$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$P=x^3+y^3+10(x+y)$

[phamquanglam]

Cho 2 số thực $x,y$ thỏa mãn: $x^2+y^2=2$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$P=x^3+y^3+10(x+y)$

     

Ta có: $P=x^{3}+y^{3}+10(x+y)=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy+10)=(x+y)(12-xy)=(x+y)(13-\frac{1}{2}(x+y)^{2})=13(x+y)-\frac{1}{2}(x+y)^{3}$

Đặt $t=x+y$ thì ta có $t^{2}=(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})=4\Leftrightarrow -2\leq t\leq 2$

Xét $f_{t}=13t-\frac{1}{2}t^{3}$ với $-2\leq t\leq 2$

$f_{t}^{'}=13-\frac{3}{2}t^{2}=0$ $\Rightarrow t=\sqrt{\frac{26}{3}}$ hoặc $t=-\sqrt{\frac{26}{3}}$

Xét trong khoảng thì không có $t$ thỏa mãn nên: 

$Minf_{t}=f_{(-2)}=-22$

$Maxf_{t}=f_{(2)}=22$