Đến nội dung

Hình ảnh

Biện luận hệ phương trình tuyến tính 4 ẩn

- - - - - phương trình tuyến tính biện luận

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
moon ssi

moon ssi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Gỉai được giữa chừng thì ko biết làm sao nên ai biết giải được thì chỉ hộ em với ạ :(

 

sGSZe3Z.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi moon ssi: 17-06-2016 - 23:06


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Gỉai được giữa chừng thì ko biết làm sao nên ai biết giải được thì chỉ hộ em với ạ :(

 

sGSZe3Z.png

Nhắc lại qua một chút về hệ phương trình tuyến tính và định lí Kronecker-Capelli cho dễ hình dung cách làm nhé :

Xét hai hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất và thuần nhất $n$ ẩn $m$ phương trình :

$$Ax=B\,\,\,\, (1)$$

$$Ax=0 \,\,\,\, (2)$$

Ở đây $A$ là một ma trận cỡ $m \times n$, $x$ là cột $n \times 1$ gồm $n$ ẩn và $B$ là cột $m \times 1$.

Nếu $(1)$ có nghiệm riêng $x_0$ thỏa mãn hệ (1) thì toàn bộ nghiệm của nó là : 

$$L_0=\{x_0+x | \text{x là nghiệm của (2)}\}$$

Vậy câu hỏi đặt ra khi nào $(1)$ có một nghiệm riêng $x_0$ : Định lý Kronecker - Capelli : 

$(1)$ có nghiệm riêng khi và chỉ khi ma trận $A$ có hạng (rank) bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng $\text{Ã}$ (ma trận A bổ sung thêm cột thứ n+1 là B)

Và cuối cùng, nếu ta gọi không gian nghiệm của (2) là $L$ thì 

$$rank L = \dim Ker A = n - rank A$$

==========================================================

Trở lại bài toán trên, câu 1 thì dễ rồi phải không, đặt ma trận hệ số là $A$ nhé :

$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & -7 & -5 & -1 \end{pmatrix}$, $x=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} m\\ 2m+1\\ -m \end{pmatrix}$

Cậu thấy là rank $A$ bằng 3 và rank của ma trận hệ số mở rộng cũng là 3 vì nó chỉ có 3 hàng và 3 hàng đấy độc lập tuyến tính rồi. Vậy nó có nghiệm riêng, mà phương trình thuần nhất liên kết với nó lại có 4 ẩn 3 phương trình nên có vô số nghiệm.

Cách khác c có thể dùng PP Gauss giải hẳn ra các $x_i$ cũng được

 

Ở câu 2, vẫn như cách đặt câu 1 nhé, thì biến đổi tí ta có :

$rank A=rank \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4\\ 2 & 4 & -7 & 9\\ 5 & 10 & -17 & 23\\ 3 & 6 & -10 & m \end{pmatrix}= rank \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & -1 & m-12 \end{pmatrix} =rank \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & -1 & m-12 \end{pmatrix}=3 \forall m$

Xét ma trận hệ số mở rộng : 

$rank \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 & 1\\ 2 & 4 & -7 & 9 & 2\\ 5 & 10 & -17 & 23 & 1\\ 3 & 6 & -10 & m & 13-m \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4\\ 0 & 0 & -1 & m-12 & 10-m \end{pmatrix}$

Mình có thể tính toán để thấy là rank của ma trận này $=4$ khi $m=13$ và $=3$ trong trường hợp còn lại. Nếu $m=13$, rank của ma trận này =4 thì hệ phương trình ban đầu không có nghiệm nào. Nếu $m\neq 13$ thì phương trình có nghiệm riêng và phương trình thuần nhất liên kết với nó có 4 ẩn, rank của ma trận =3 nên nó có vô số nghiệm.

================

Gõ xong mới thấy mình ngu @@ thực ra ở cả 2 bài chỉ cần dùng PP Gauss khử dần hệ số đi là được, ở câu 2 có thể tính toán dựa vào 3 pt đầu để ra được luôn $x_3,x_4$ rồi làm tiếp dễ dàng. Thôi coi như cách mà mình nói là cách tổng quát để làm mấy bài kiểu này đi :)) Còn những bài đặc biệt như trên chỉ cần biến đổi tí là đc.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-06-2016 - 17:28

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết

Hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x_1-2x_2+x_3+2x_4=m\\ x_1+x_2-x_3+x_4=2m+1\\ x_1-7x_2-5x_3-x_4=-m \end{matrix}\right.$

Xét ma trận hệ số bổ sung

$\overline{A}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & \vdots & m\\ 1 & 1 & -1 & 1 & \vdots & 2m+1\\ 1 & -7 & -5 & -1 & \vdots & -m \end{pmatrix}$

 

$\xrightarrow[h_3-h_1\rightarrow h_3]{h_2-h_1\rightarrow h_2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & \vdots & m\\ 0 & 3 & -2 & -1 & \vdots & m+1\\ 0 & -5 & -6 & -3 & \vdots & -2m \end{pmatrix}$

 

$\xrightarrow[\quad]{3h_3+5h_2\rightarrow h_3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & \vdots & m\\ 0 & 3 & -2 & -1 & \vdots & m+1\\ 0 & -5 & -6 & -3 & \vdots & -2m \end{pmatrix}$

Suy ra: $r(\overline{A})=r(A)=3<4, \forall m\in \mathbb{R}$

 

Hệ phương trình có vô số nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$. Khi đó, hệ phương trình trở thành

 

$\left\{\begin{matrix} x_1 & - & 2x_2 &+& x_3 &+& 2x_4 & =& m\\   & & 3x_2 &-& 2x_3 &-& x_4 & =& m+1\\  & & & & 28x_3 &+& 14x_4 & =& m-1\end{matrix}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} x_1 &=& -\frac{3}{2}t &+& \frac{17}{18} &+& \frac{47}{28}m\\ x_2 &=& & & \frac{3}{14} &+& \frac{5}{14}m\\ x_3 &=& -\frac{1}{2}t &-& \frac{5}{28} &+& \frac{1}{28}m \\ x_4 &=& t & & & & \end{matrix}\right. \qquad t\in \mathbb{R}$

 

PS: Chỉ là một cách trình bày khác Đạt thôi! Tôi đoán bạn không phải sinh viên ngành toán nên có thể cách trình bày của Đạt làm bạn khó khăn nên đưa ra thêm bài trình bày này. Bài thứ hai thì phương pháp cũng tương tự.


Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh