Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Biện luận hệ phương trình tuyến tính 4 ẩn

phương trình tuyến tính biện luận

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 moon ssi

moon ssi

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 17-06-2016 - 23:05

Gỉai được giữa chừng thì ko biết làm sao nên ai biết giải được thì chỉ hộ em với ạ :(

 

sGSZe3Z.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi moon ssi: 17-06-2016 - 23:06


#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-06-2016 - 17:27

Gỉai được giữa chừng thì ko biết làm sao nên ai biết giải được thì chỉ hộ em với ạ :(

 

sGSZe3Z.png

Nhắc lại qua một chút về hệ phương trình tuyến tính và định lí Kronecker-Capelli cho dễ hình dung cách làm nhé :

Xét hai hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất và thuần nhất $n$ ẩn $m$ phương trình :

$$Ax=B\,\,\,\, (1)$$

$$Ax=0 \,\,\,\, (2)$$

Ở đây $A$ là một ma trận cỡ $m \times n$, $x$ là cột $n \times 1$ gồm $n$ ẩn và $B$ là cột $m \times 1$.

Nếu $(1)$ có nghiệm riêng $x_0$ thỏa mãn hệ (1) thì toàn bộ nghiệm của nó là : 

$$L_0=\{x_0+x | \text{x là nghiệm của (2)}\}$$

Vậy câu hỏi đặt ra khi nào $(1)$ có một nghiệm riêng $x_0$ : Định lý Kronecker - Capelli : 

$(1)$ có nghiệm riêng khi và chỉ khi ma trận $A$ có hạng (rank) bằng hạng của ma trận hệ số mở rộng $\text{Ã}$ (ma trận A bổ sung thêm cột thứ n+1 là B)

Và cuối cùng, nếu ta gọi không gian nghiệm của (2) là $L$ thì 

$$rank L = \dim Ker A = n - rank A$$

==========================================================

Trở lại bài toán trên, câu 1 thì dễ rồi phải không, đặt ma trận hệ số là $A$ nhé :

$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & -7 & -5 & -1 \end{pmatrix}$, $x=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} m\\ 2m+1\\ -m \end{pmatrix}$

Cậu thấy là rank $A$ bằng 3 và rank của ma trận hệ số mở rộng cũng là 3 vì nó chỉ có 3 hàng và 3 hàng đấy độc lập tuyến tính rồi. Vậy nó có nghiệm riêng, mà phương trình thuần nhất liên kết với nó lại có 4 ẩn 3 phương trình nên có vô số nghiệm.

Cách khác c có thể dùng PP Gauss giải hẳn ra các $x_i$ cũng được

 

Ở câu 2, vẫn như cách đặt câu 1 nhé, thì biến đổi tí ta có :

$rank A=rank \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4\\ 2 & 4 & -7 & 9\\ 5 & 10 & -17 & 23\\ 3 & 6 & -10 & m \end{pmatrix}= rank \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & -1 & m-12 \end{pmatrix} =rank \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & -1 & m-12 \end{pmatrix}=3 \forall m$

Xét ma trận hệ số mở rộng : 

$rank \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 & 1\\ 2 & 4 & -7 & 9 & 2\\ 5 & 10 & -17 & 23 & 1\\ 3 & 6 & -10 & m & 13-m \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4\\ 0 & 0 & -1 & m-12 & 10-m \end{pmatrix}$

Mình có thể tính toán để thấy là rank của ma trận này $=4$ khi $m=13$ và $=3$ trong trường hợp còn lại. Nếu $m=13$, rank của ma trận này =4 thì hệ phương trình ban đầu không có nghiệm nào. Nếu $m\neq 13$ thì phương trình có nghiệm riêng và phương trình thuần nhất liên kết với nó có 4 ẩn, rank của ma trận =3 nên nó có vô số nghiệm.

================

Gõ xong mới thấy mình ngu @@ thực ra ở cả 2 bài chỉ cần dùng PP Gauss khử dần hệ số đi là được, ở câu 2 có thể tính toán dựa vào 3 pt đầu để ra được luôn $x_3,x_4$ rồi làm tiếp dễ dàng. Thôi coi như cách mà mình nói là cách tổng quát để làm mấy bài kiểu này đi :)) Còn những bài đặc biệt như trên chỉ cần biến đổi tí là đc.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-06-2016 - 17:28

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 25-06-2016 - 08:39

Hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x_1-2x_2+x_3+2x_4=m\\ x_1+x_2-x_3+x_4=2m+1\\ x_1-7x_2-5x_3-x_4=-m \end{matrix}\right.$

Xét ma trận hệ số bổ sung

$\overline{A}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & \vdots & m\\ 1 & 1 & -1 & 1 & \vdots & 2m+1\\ 1 & -7 & -5 & -1 & \vdots & -m \end{pmatrix}$

 

$\xrightarrow[h_3-h_1\rightarrow h_3]{h_2-h_1\rightarrow h_2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & \vdots & m\\ 0 & 3 & -2 & -1 & \vdots & m+1\\ 0 & -5 & -6 & -3 & \vdots & -2m \end{pmatrix}$

 

$\xrightarrow[\quad]{3h_3+5h_2\rightarrow h_3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 & \vdots & m\\ 0 & 3 & -2 & -1 & \vdots & m+1\\ 0 & -5 & -6 & -3 & \vdots & -2m \end{pmatrix}$

Suy ra: $r(\overline{A})=r(A)=3<4, \forall m\in \mathbb{R}$

 

Hệ phương trình có vô số nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$. Khi đó, hệ phương trình trở thành

 

$\left\{\begin{matrix} x_1 & - & 2x_2 &+& x_3 &+& 2x_4 & =& m\\   & & 3x_2 &-& 2x_3 &-& x_4 & =& m+1\\  & & & & 28x_3 &+& 14x_4 & =& m-1\end{matrix}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\begin{matrix} x_1 &=& -\frac{3}{2}t &+& \frac{17}{18} &+& \frac{47}{28}m\\ x_2 &=& & & \frac{3}{14} &+& \frac{5}{14}m\\ x_3 &=& -\frac{1}{2}t &-& \frac{5}{28} &+& \frac{1}{28}m \\ x_4 &=& t & & & & \end{matrix}\right. \qquad t\in \mathbb{R}$

 

PS: Chỉ là một cách trình bày khác Đạt thôi! Tôi đoán bạn không phải sinh viên ngành toán nên có thể cách trình bày của Đạt làm bạn khó khăn nên đưa ra thêm bài trình bày này. Bài thứ hai thì phương pháp cũng tương tự.


Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh