Chủ đề này có 1 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn đẳng thức sau: $2xy+6yz+3zx=2.$ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$A=\frac{x}{\sqrt[3]{x+4y+9z}}+\frac{2y}{\sqrt[3]{2y+6z+3x}}+\frac{3z}{\sqrt[3]{3z+2x+6y}}.$$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 18-06-2016 - 17:33

[phamquanglam]

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn đẳng thức sau: $2xy+6yz+3zx=2.$ Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$A=\frac{x}{\sqrt[3]{x+4y+9z}}+\frac{2y}{\sqrt[3]{2y+6z+3x}}+\frac{3z}{\sqrt[3]{3z+2x+6y}}.$$ 

Đặt: $(a,b,c)=(x,2y,3z)$ ta có: $ab+bc+ca=2$

Và tìm min của: $A=\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b+3c}}$

Ta xét: $\sqrt[3]{a+2b+3c}=\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}.\sqrt[3]{(a+2b+3c).2\sqrt{6}.2\sqrt{6}}\leq \frac{1}{2\sqrt[3]{3}}.\frac{a+2b+3c+4\sqrt{6}}{3}=\frac{a+2b+3c+4\sqrt{6}}{6\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b+3c}}\geq \frac{6\sqrt[3]{3}a}{a+2b+3c+4\sqrt{6}}$

CMTT cộng các vế lại ta có: 

$\sum \frac{a}{\sqrt[3]{a+2b+3c}}\geq \sum \frac{6\sqrt[3]{3}a}{a+2b+3c+4\sqrt{6}}=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}a^{2}}{a^{2}+5\sum ab+4\sqrt{6}\sum a}=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}a^{2}}{(a+b+c)^{2}+3\sum ab+4\sqrt{6}\sum a}\geq \sum \frac{6\sqrt[3]{3}(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)^{2}+4\sqrt{6}(a+b+c)}$$=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}(a+b+c)}{2(a+b+c)+4\sqrt{6}}$

Ta đặt: $t=a+b+c$ thì $t\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}\geq \sqrt{6}$

Xét: $f_{t}=\sum \frac{6\sqrt[3]{3}t}{2t+4\sqrt{6}}$

$\Rightarrow f_{t}^{'}=6\sqrt[3]{3}.\frac{2\sqrt{6}}{(t+2\sqrt{6})^{2}}> 0$ với mọi $t$

Nên $f_{t}$ luôn đồng biến trên khoảng $t\geq \sqrt{6}$

Nên ta có: $f_{t}\geq f_{\sqrt{6}}=\sqrt[3]{3}$

             

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 20-06-2016 - 11:46