Chủ đề này có 2 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $x,y,z\in \left [ 0;2 \right ]$

Tìm $\min P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+6(xy+yz+zx)+\frac{32}{\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}+2z}}$

[tungteng532000]

Cho $x,y,z\in \left [ 0;2 \right ]$

Tìm $\min P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+6(xy+yz+zx)+\frac{32}{\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}+2z}}$

Áp dụng bđt AM-GM, ta được:
$\frac{2(x^3+y^3+2z)}{3}+\frac{32}{3\sqrt[3]{x^3+y^3+2z}}.3\geq \frac{64}{3}$
Do đó $P\geq \sum x^2+6\sum xy-\frac{2}{3}(x^3+y^3)-\frac{4}{3}z+\frac{64}{3}$
Giả sử $y\geq x$
Ta có: P=f(x), f'(x)=$2x+6(y+z)-2x^2\geq 2x(2-x)\geq 0$
Do đó $P\geq f(0)=y^2+z^2+6yz-\frac{2}{3}y^3-\frac{4}{3}z+\frac{64}{3}$
TH1: $z+3y\geq \frac{2}{3}$
Ta có: $P\geq f(z), f'(z)=2z+6y-\frac{4}{3}\geq 0$
$\Rightarrow P\geq f(0)=y^2-\frac{2}{3}y^3+\frac{64}{3}=\frac{1}{3}(2-y)(2y^2+y+2)+20\geq 20$
Th2: $z+3y< \frac{2}{3}\Rightarrow y<\frac{2}{9}$
Ta có: $P\geq y^2+z^2+z(6y-\frac{4}{3})-\frac{2}{3}y^3+\frac{64}{3}\geq y^2+(\frac{2}{3}-3y)(6y-\frac{4}{3})+\frac{64}{3}-\frac{2}{3}y^3=20+y^2+(\frac{2}{3}-3y)(6y-\frac{4}{3})-\frac{2}{3}y^3+\frac{4}{3}>20$
Vì $y^2+(\frac{2}{3}-3y)(6y-\frac{4}{3})-\frac{2}{3}y^3+\frac{4}{3}>0$ với y<2/9
MinP=20 đạt được tại $x=2,y=z=0$ hoặc $x=z=0,y=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 19-06-2016 - 11:14

[tungteng532000]

Cho $x,y,z\in \left [ 0;2 \right ]$

Tìm $\min P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+6(xy+yz+zx)+\frac{32}{\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}+2z}}$

Lần đầu tiên e gặp a trên diễn đàn