Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $x(x+1)=p^{2n}(y+1)$ vô nghiệm

pt nghiệm nguyên vô nghiệm số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đoàn Thị Điểm- Cần Thơ
  • Sở thích:Ngủ, ăn, vừa ăn vừa ngủ

Đã gửi 19-06-2016 - 10:35

1. Chứng minh phương trình nghiệm nguyên $x(x+1)=p^{2n}y(y+1)$ vô nghiệm với $p$ là số nguyên tố và $n$ là số nguyên dương

2. Giải phương trình nghiệm nguyên với p là số nguyên tố, $x,y$ là hai số nguyên dương

$x^5+x^4+1=p^y$

3. Giải hệ phương trình nghiệm nguyên

$\begin{cases}x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v)\\xy+z+uv=xy(u+v)+uv(x+y)\end{cases}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cantho2015: 19-06-2016 - 14:47


#2 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 19-06-2016 - 15:17

1. Chứng minh phương trình nghiệm nguyên $x(x+1)=p^{2n}y(y+1)$ vô nghiệm với $p$ là số nguyên tố và $n$ là số nguyên dương

2. Giải phương trình nghiệm nguyên với p là số nguyên tố, $x,y$ là hai số nguyên dương

$x^5+x^4+1=p^y$

3. Giải hệ phương trình nghiệm nguyên

$\begin{cases}x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v)\\xy+z+uv=xy(u+v)+uv(x+y)\end{cases}$

Bài 2 quan trọng là phát hiện:

$x^5+x^4+1=x^5+x^3+x^3+1-x^3=(x^2+x+1)(x^3-x+1)$

Viết pt lại: $(x^2+x+1)(x^3-x+1)=p^y$

Dễ thấy $x$ phải dương

Nếu $x=1$ thì $p=3,y=1$

Nếu $x>1$ thì khi đó $y>1$ (Do $x^2+x+1>1, x^3-x+1$)

Giả sử $(x^2+x+1,x^3-x+1)=d$

Suy ra $d | -(x^2+x+1+x^3-x+1)+x(x^2+x+1)=x-2$

$d| -(x-2)(x+3)+(x^2+x+1)=5$

Nên nếu $p=5$, thì $(x^2+x+1,x^3-x+1)=5$

 Mà $x^2+x+1 \ne 5$ và $x^3-x+1 \ne 5$ (với $x$ nguyên)

Nên $p=5$ phương trình vô nghiệm.

$p \ne 5$ thì suy ra: $(x^2+x+1,x^3-x+1)=1$ Mà $x^2+x+1 \ne 1$ và $x^3-x+1 \ne 1$ (với $x>1$ )

Vậy: $(x,y,p)=(1,1,3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 19-06-2016 - 15:19


#3 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 19-06-2016 - 18:01

Bài 3 : Trừ  theo vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được : 
$x+y+xy+u+v-uv=(x+y-xy)(u+v-uv)$ 

$\Leftrightarrow (1-x)(1-y)(1-u)(1-v)=1$ Từ suy ra nghiệm của hệ : 
$(x,y,z,u,v)=(0,0,0,0,0),(0,0,-4,2,2),(0,2,0,0,2),(0,2,0,2,0),(2,0,0,0,2),(2,0,0,2,0),(2,2,-4,0,0),((2,2,24,2,2)$ 



#4 Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đoàn Thị Điểm- Cần Thơ
  • Sở thích:Ngủ, ăn, vừa ăn vừa ngủ

Đã gửi 20-06-2016 - 01:49

Bài 1 mình giải thế này:

  $$\displaystyle{\frac{x(x+1)}{y(y+1)}=(p^n)^2}$$
 Dễ thấy \[gcd(x;x+1)=gcd(y;y+1)=1 \]
Giả sử $y|x \Rightarrow y \nmid x+1, y+1 \nmid x$
  $$x=my; x+1=n(y+1) $$ (với $m,n \geq{1}$)
  $(m;n)=d \Rightarrow d|my-n(y+1) \Rightarrow d|x-(x+1) \Rightarrow d=1$
  $mn=(p^n)^2=p.p.p....p$ $\Rightarrow$ Một trong $m$ hoặc $n$ phải bằng $1$ 
 Cả hai trường hợp $\Rightarrow x=y$. Vậy $p=1$ (vô lý)
  Nếu $y|x+1$, chứng minh tương tự


#5 Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đoàn Thị Điểm- Cần Thơ
  • Sở thích:Ngủ, ăn, vừa ăn vừa ngủ

Đã gửi 20-06-2016 - 02:27

Bài 2 quan trọng là phát hiện:

$x^5+x^4+1=x^5+x^3+x^3+1-x^3=(x^2+x+1)(x^3-x+1)$

Viết pt lại: $(x^2+x+1)(x^3-x+1)=p^y$

Dễ thấy $x$ phải dương

Nếu $x=1$ thì $p=3,y=1$

Nếu $x>1$ thì khi đó $y>1$ (Do $x^2+x+1>1, x^3-x+1$)

Giả sử $(x^2+x+1,x^3-x+1)=d$

Suy ra $d | -(x^2+x+1+x^3-x+1)+x(x^2+x+1)=x-2$

$d| -(x-2)(x+3)+(x^2+x+1)=5$

Nên nếu $p=5$, thì $(x^2+x+1,x^3-x+1)=5$

 Mà $x^2+x+1 \ne 5$ và $x^3-x+1 \ne 5$ (với $x$ nguyên)

Nên $p=5$ phương trình vô nghiệm.

$p \ne 5$ thì suy ra: $(x^2+x+1,x^3-x+1)=1$ Mà $x^2+x+1 \ne 1$ và $x^3-x+1 \ne 1$ (với $x>1$ )

Vậy: $(x,y,p)=(1,1,3)$

Cái chỗ $(x^2+x+1,x^3-x+1)=5$ $\Rightarrow$ $x^2+x+1 \ne 5$ sao không phải là $x^2+x+1 \ne 5k$, mình không hiểu.



#6 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 20-06-2016 - 05:23

Cái chỗ $(x^2+x+1,x^3-x+1)=5$ $\Rightarrow$ $x^2+x+1 \ne 5$ sao không phải là $x^2+x+1 \ne 5k$, mình không hiểu.

Nếu $k \ne 5$ thì khi đó $5^y$ chia hết cho $k$, vô lí 



#7 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 20-06-2016 - 05:27

 

Bài 1 mình giải thế này:

  $$\displaystyle{\frac{x(x+1)}{y(y+1)}=(p^n)^2}$$
 Dễ thấy \[gcd(x;x+1)=gcd(y;y+1)=1 \]
Giả sử $y|x \Rightarrow y \nmid x+1, y+1 \nmid x$
  $$x=my; x+1=n(y+1) $$ (với $m,n \geq{1}$)
  $(m;n)=d \Rightarrow d|my-n(y+1) \Rightarrow d|x-(x+1) \Rightarrow d=1$
  $mn=(p^n)^2=p.p.p....p$ $\Rightarrow$ Một trong $m$ hoặc $n$ phải bằng $1$ 
 Cả hai trường hợp $\Rightarrow x=y$. Vậy $p=1$ (vô lý)
  Nếu $y|x+1$, chứng minh tương tự

 

Sai ở khúc $ y |x  \Rightarrow y+1 \not \mid x $, bạn có thể lấy ví dụ là  $3| 12 $ và $4|12$



#8 Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đoàn Thị Điểm- Cần Thơ
  • Sở thích:Ngủ, ăn, vừa ăn vừa ngủ

Đã gửi 20-06-2016 - 06:13

Nếu $k \ne 5$ thì khi đó $5^y$ chia hết cho $k$, vô lí 

Vậy $x^2+x+1=5^k$ khi đó $5^y$ chia hết cho $5^k$ với $y \geq k$ và hình như không vô lý



#9 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 20-06-2016 - 19:51

Vậy $x^2+x+1=5^k$ khi đó $5^y$ chia hết cho $5^k$ với $y \geq k$ và hình như không vô lý

Bạn đang hiểu nhầm ý mình $5^k$ và $k$



#10 Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đoàn Thị Điểm- Cần Thơ
  • Sở thích:Ngủ, ăn, vừa ăn vừa ngủ

Đã gửi 21-06-2016 - 01:15

Bạn đang hiểu nhầm ý mình $5^k$ và $k$

Bài 1 mình giải sai rồi. 
Còn bài giải của bạn, mình không hiểu tại sao $x^2+x+1$ phải bằng chính xác $5$ mà không phải là $5^k$ vì cả vế trái bằng $5^y$ mà có phải $5$ đâu. 

Nhưng mà cách giải thì đúng rồi

$x^2+x+1=5^k$

$\Delta_x=-3+5^k=a^2$

$-3+5^k \equiv{2} \pmod{5}$ $\Rightarrow a^2 \equiv{2} \pmod{5}$ vô lý. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên, tương tự cho $x^2-x+1$







2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh