Đến nội dung

Hình ảnh

Phương Trình, Hệ Phương Trình Trong Cm Bất Đẳng Thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết

 Chào các bạn, VMF-ers, hôm nay,mình lập topic này bởi vì mình đã tìm thấy chủ đề ứng dụng phương trình,hệ phương trình trong chứng mình bất đẳng thức là 1 chủ đề khá hay và thú vị để học hỏi.

 Có lẽ như tiêu đề đã nói lên hết phương pháp thú vị này.

 Trong chương trình phổ thông, phương trình và hệ phương trình chiếm một tỷ trọng khá lớn.Có thể nói ,chủ đề về phương trình hệ phương trình xuyên suốt chương trình đại số phổ thông.

 Tuy nhiên, có thể thấy rằng càng lên các lớp trên việc học cách giải các dạng phương trình càng mang tính tự thân, ít có mối liên hệ với những vấn đề khác, ứng dụng cũng phương trình,hệ phương trình ít được nói tới.

Chủ đề nhằm hướng tới nêu lên mối quan hệ giữa các bài toán phương trình, hệ phương trình với các vấn đề toán học và cụ thể ở đây là chứng minh bất đẳng thức.

 Vì trình độ của mình còn kém cỏi nên mong mọi người chia sẻ kinh nghiệm quý báu và nhiệt tình ủng hộ topic. :D

 Mở đầu topic mình đề xuất 2 bài toán:

Bài toán 1 : Cho $x> y> 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

 A=$2x+\frac{1}{xy(x-y)}$

Bài toán 2 : Chứng mình rằng với $0\leq x\leq 1$ ta có bất đẳng thức

 $x(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})\leq 16$ ( olympic 30/4 , 1996 )

Mọi người nhớ đề xuất thêm 1 số bài toán để cùng giải chia sẻ nhé :D 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenduy287: 20-06-2016 - 10:16

  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 


#2
nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết

Mình xin đăng lời giải bài 1:

Viết ra nháp như sau A= $ax+(2-a)(x-y)+(2-a)y+\frac{1}{xy(x-y)}\geq 4\sqrt[4]{a(2-a)^2}$

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ax=(2-a)(x-y)=(2-a)y=\frac{1}{xy(x-y)}$

 giải hệ này ta được $a=\frac{2}{3},x=\sqrt[4]{6},y=\frac{\sqrt[4]{6}}{2}$

 

 

 

Do đó mình viết đầy đủ bài giải là A=$\frac{2x}{3}+\frac{4}{3}(x-y)+\frac{4}{3}y+\frac{1}{xy(x-y)}\geq 4\sqrt[4]{\frac{32}{27}}$:D

P/s: nhờ giải hpt mình tìm đc hệ số thích hợp :D


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 


#3
tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

 

Bài toán 2 : Chứng mình rằng với $0\leq x\leq 1$ ta có bất đẳng thức

 $x(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})\leq 16$ ( olympic 30/4 , 1996 )

Mọi người nhớ đề xuất thêm 1 số bài toán để cùng giải chia sẻ nhé 

Mong topic sẽ phát triển  :D 
Lời giải
Áp dụng bđt AM-GM, ta được:
$9x\sqrt{1+x^2}=6.\frac{3}{2}x\sqrt{1+x^2}\leq 3(\frac{9x^2}{4}+1+x^2)=3+\frac{39x^2}{4}$
$13x\sqrt{1-x^2}=26.\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}\leq 13(\frac{x^2}{4}+1-x^2)=13-\frac{39x^2}{4}$
Do đó $x(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})\leq 16$
Đẳng thức xảy ra khi 
$x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
P/s: Mình tính đạo hàm để mò dấu bằng  :D


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#4
tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Bài 3: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của:
$P=ab+3bc+5ca$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 20-06-2016 - 12:46

                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#5
githenhi512

githenhi512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

Bài 3: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của:
$P=ab+3bc+5ca$

$GT\Rightarrow a=1-(b+c)\Rightarrow P=-b^2+(1-3c)b-5c^2+5c\Leftrightarrow b^2+(3c-1)b+(5c^2-5c+P)=0$

$\Delta =-11c^2+14c+1-4P$

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow -4P\geq 11c^2-14c-1=11(c-\frac{7}{11})^2-\frac{60}{11}\Rightarrow P\leq \frac{15}{11}$

$\Rightarrow Max P=\frac{15}{11}\Leftrightarrow a=\frac{9}{11}, b=\frac{-5}{11}, c=\frac{7}{11}$


'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.

Albert Einstein                               


#6
githenhi512

githenhi512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

Bài 4: Cho a, b, c> 0 t/m a+b+c=3. Tìm Max P=4ab+ 8bc+ 6ca


'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.

Albert Einstein                               


#7
githenhi512

githenhi512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

Tổng quát cho bài 3:

  Cho a,b,c là các số thực t/m a+b+c=k=const. Tìm Max P= xab+ ybc+zca.

$GT\Rightarrow a=k-(b+c)\Rightarrow P=-xb^2-b(zc-yc-xk+xc)-(zc^2-zck)\Rightarrow xb^2+b(zc-yc-xk+xc)+(zc^2-zck+P)=0$

$\Delta =c^2(z^2+y^2+x^2-2yz-2xy-2zx)+2c(xyk+xzk-x^2k)+x^2k^2-4Px$

$\Delta \geq 0\Rightarrow P\leq \frac{c^2(x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx)+c(2xyk+2xzk-2x^2k)+x^2k^2}{4x}$

Vì x,y,z,k xác định nên dễ dàng tìm đc Max của biểu thức VP $\Rightarrow$ Max P


'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.

Albert Einstein                               


#8
nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết

Bài 4: Cho a, b, c> 0 t/m a+b+c=3. Tìm Max P=4ab+ 8bc+ 6ca

Vì lí do cá nhân mà dạo này không được lên topic xem thông tin và đăng bài 

Cảm ơn lời giải của cậu cho bài toán ở trên

Bài toán 4 này đại khái lời giải rất giống ở câu 3 

Cậu đăng phần Bài tổng quát của nó rồi nên có lẽ bài toán 4 này chỉ cần thế số và Max của P =$\frac{432}{23}$

Mình xin đề xuất dạng bài toán mới Cho topic tiếp tục : 

Bài toán số 5: Cho x,y là các số thực thỏa $x^2+2y^2+2xy=4$ Hãy tìm Min và Max của P=$x^2+3y^2+4xy$

Chúc mọi người may mắn :D 


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 


#9
githenhi512

githenhi512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 290 Bài viết

 Bài toán số 5: Cho x,y là các số thực thỏa $x^2+2y^2+2xy=4$ Hãy tìm Min và Max của P=$x^2+3y^2+4xy$

 

Đặt $x+y=a\Rightarrow P=a^2+2ay$

Nếu a=0, P=0

Nếu $a\neq 0\Rightarrow y=\frac{P-a^2}{2a}$

$GT\Rightarrow a^2+y^2=4\Rightarrow a^2+\frac{P^2-2Pa^2+a^4}{4a^2}=4\Leftrightarrow 5a^4-2a^2(P+8)+P^2=0$

$\Delta '=-4(P^2-4P-16)\Rightarrow P^2-4P-16\leq 0\Rightarrow 2-2\sqrt{5}\leq P\leq 2+2\sqrt{5}$

Do đó: 

$Min P=2-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{100-40\sqrt{5}}}{5}, y=-\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$

$Max P=2+2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{100-40\sqrt{5}}}{5}, y=\pm \frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$


'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.

Albert Einstein                               


#10
nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết

Đặt $x+y=a\Rightarrow P=a^2+2ay$

Nếu a=0, P=0

Nếu $a\neq 0\Rightarrow y=\frac{P-a^2}{2a}$

$GT\Rightarrow a^2+y^2=4\Rightarrow a^2+\frac{P^2-2Pa^2+a^4}{4a^2}=4\Leftrightarrow 5a^4-2a^2(P+8)+P^2=0$

$\Delta '=-4(P^2-4P-16)\Rightarrow P^2-4P-16\leq 0\Rightarrow 2-2\sqrt{5}\leq P\leq 2+2\sqrt{5}$

Do đó: 

$Min P=2-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{100-40\sqrt{5}}}{5}, y=-\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$

$Max P=2+2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{100-40\sqrt{5}}}{5}, y=\pm \frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$

Cảm ơn lời giải có vẻ tuyệt vời của cậu :D Lời giải của cậu đã bộc lộ lên một vẻ đẹp mĩ miều và quý giá của phương trình qua biệt số denta 

Mình xin tiếp tục với dạng tổng quát của bài toán này như sau : Cho x,y là các số thực thỏa : $ax^2+by^2+cxy=d$.Tìm Min và Max của P =$ex^2+fy^2+gxy$

Ý tưởng là t sẽ chia P cho d 

Xét trường hợp y=0 => x=> P

Xét với y khác 0 : P=$\frac{ax^2+by^2+cxy}{ex^2+fy^2+gxy}=\frac{at^2+bt+c}{et^2+ft+g} (t=\frac{x}{y})=>(ad-eP)t^2+(bd-fP)t+cd-gP=0=>\Delta =(bd-fP)^2-4(ad-eP)(cd-gP)\geq 0$

Giải bất phương trình trên dưới dạng ẩn P thì ta sẽ tìm được Min max của P cần tìm 

Để tiếp tục topic : Mình xin đề xuất vấn đề tiếp theo

Cho x,y,z là các số thực thỏa $\left\{\begin{matrix}x+y+z=0 \\ x^2+y^2+z^2=6 \end{matrix}\right.$

Tìm Min max của A=$x^2y+y^2z+z^2x$

Chúc May mắn :D 


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 


#11
nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết

Đặt $x+y=a\Rightarrow P=a^2+2ay$

Nếu a=0, P=0

Nếu $a\neq 0\Rightarrow y=\frac{P-a^2}{2a}$

$GT\Rightarrow a^2+y^2=4\Rightarrow a^2+\frac{P^2-2Pa^2+a^4}{4a^2}=4\Leftrightarrow 5a^4-2a^2(P+8)+P^2=0$

$\Delta '=-4(P^2-4P-16)\Rightarrow P^2-4P-16\leq 0\Rightarrow 2-2\sqrt{5}\leq P\leq 2+2\sqrt{5}$

Do đó: 

$Min P=2-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{100-40\sqrt{5}}}{5}, y=-\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$

$Max P=2+2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{100-40\sqrt{5}}}{5}, y=\pm \frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$

Min xin đăng lời giải bài toán vừa rồi 

Từ giả thiết ta dễ dàng tính đc xy+xz+yz=-3 

$3A=\sum x(2xy+z^2) => Cauchy-schwarts=>9A^2\leq (\sum x^2)(\sum (2xy+z^2)^2)=(\sum x^2)(\sum x^4+4x^2yz+4y^2z^2)=(\sum x^2)(\sum x^4+2\sum y^2z^2+(2\sum y^2z^2+4\sum x^2yz))=(\sum x^2)((\sum x^2)^2+2(\sum xy)^2)=6.(6^2+2.(-3)^2)=6.54=324=>A^2\leq 36=>-6\leq A\leq 6$

Dấu bằng xảy ra $\begin{bmatrix}A=-6<=>x=2cos\frac{\pi }{9},y=2cos\frac{7\pi }{9},z=2Cos\frac{5\pi }{9} \\ A=6<=> x=2cos\frac{8\pi }{9},y=2cos\frac{2\pi }{9},z=2cos\frac{4\pi }{9} \end{bmatrix}$

Mình xin đề xuất bài toán mới :

Cho $n\geq 2$ và $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},b_{3},...b_{n}$ là 2n số thực thỏa mãn :

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1,\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=1,\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0$

Chứng minh rằng : $(\sum_{i=1}^{n}a_{i})^2+(\sum_{i=1}^{n}b_{i})^2\leq n$


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 


#12
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Mình xin đề xuất bài toán mới :

Bài 7: Cho $n\geq 2$ và $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},b_{3},...b_{n}$ là 2n số thực thỏa mãn :

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1,\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=1,\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=0$

Chứng minh rằng : $(\sum_{i=1}^{n}a_{i})^2+(\sum_{i=1}^{n}b_{i})^2\leq n$

Bài này nằm trog $Balkan$ $Shortlist$ $2007$  :D

Đặt $A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$  ;  $B=\sum_{i=1}^{n}b_{i}$

Xét khai triển:

$\sum_{i=1}^{n}(1-Aa_{i}-Bb_{i})^2=\sum_{i=1}^{n}(1+A^2a_{i}^2+b^2b_{i}^2-2Aa_{i}-2Bb_{i}+2ABa_{i}b_{i})$

$=n+A^2\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2+B^2\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2+2AB\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-2A\sum_{i=1}^{n}a_{i}-2B\sum_{i=1}^{n}b_{i}$

$=n+A^2+B^2-2A^2-2B^2=n-A^2-B^2\Rightarrow A^2+B^2\leq n$ (đpcm)    

P/s: Hi vọng các bạn đề xuất bài toán mới thì nên đánh STT của bài toán vào để topic rõ ràng và mạch lạc hơn   :mellow:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 16-08-2016 - 21:06


#13
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Để tiếp tục topic, mình xin đề xuất bài toán tiếp theo:
Bài 8: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=13$. Tìm min của bt:

$a)$ $P=(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

$b)$ $Q=(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})$

$1$ câu hỏi khác đặt ra là liệu ta có thể tìm đc max của $2$ bt trên hay ko? Mời mọi người hãy thử thực hiện điều này :D  

 

Mình xin đề xuất $2$ mở rộng cho bài toán trên:

$1)$ Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=k$  $(k>9)$. Tìm min của bt:

$ A=(a^n+b^n+c^n)(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n})$ $(n\in\mathbb{N},n\geq 2$ và nếu đc thì có thể mở rộng cho $\forall n>1)$

$2)$ Cho $m$ số dương $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ thỏa mãn:

      $(\sum_{i=1}^{m}a_{i})(\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{a_{i}})=k$ $(k>m^2)$

Tìm min của bt: $B=(\sum_{i=1}^{m}a_{i}^n)(\sum_{i=1}^{m}\frac{1}{a_{i}^n})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 16-08-2016 - 21:05


#14
nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết

Cảm ơn lời giải có vẻ tuyệt vời của cậu :D Lời giải của cậu đã bộc lộ lên một vẻ đẹp mĩ miều và quý giá của phương trình qua biệt số denta 

Mình xin tiếp tục với dạng tổng quát của bài toán này như sau : Cho x,y là các số thực thỏa : $ax^2+by^2+cxy=d$.Tìm Min và Max của P =$ex^2+fy^2+gxy$

Ý tưởng là t sẽ chia P cho d 

Xét trường hợp y=0 => x=> P

Xét với y khác 0 : P=$\frac{ax^2+by^2+cxy}{ex^2+fy^2+gxy}=\frac{at^2+bt+c}{et^2+ft+g} (t=\frac{x}{y})=>(ad-eP)t^2+(bd-fP)t+cd-gP=0=>\Delta =(bd-fP)^2-4(ad-eP)(cd-gP)\geq 0$

Giải bất phương trình trên dưới dạng ẩn P thì ta sẽ tìm được Min max của P cần tìm 

Để tiếp tục topic : Mình xin đề xuất vấn đề tiếp theo

Cho x,y,z là các số thực thỏa $\left\{\begin{matrix}x+y+z=0 \\ x^2+y^2+z^2=6 \end{matrix}\right.$

Tìm Min max của A=$x^2y+y^2z+z^2x$

Chúc May mắn :D

 

Bài này nằm trog $Balkan$ $Shortlist$ $2007$  :D

Đặt $A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$  ;  $B=\sum_{i=1}^{n}b_{i}$

Xét khai triển:

$\sum_{i=1}^{n}(1-Aa_{i}-Bb_{i})^2=\sum_{i=1}^{n}(1+A^2a_{i}^2+b^2b_{i}^2-2Aa_{i}-2Bb_{i}+2ABa_{i}b_{i})$

$=n+A^2\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2+B^2\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2+2AB\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-2A\sum_{i=1}^{n}a_{i}-2B\sum_{i=1}^{n}b_{i}$

$=n+A^2+B^2-2A^2-2B^2=n-A^2-B^2\Rightarrow A^2+B^2\leq n$ (đpcm)    

P/s: Hi vọng các bạn đề xuất bài toán mới thì nên đánh STT của bài toán vào để topic rõ ràng và mạch lạc hơn   :mellow:

Bài toán 7 cũng là bài chọn đội tuyển Rumani 2007

Mình xin đề xuất hướng giải và có sự ứng dụng của phương trình và hệ phương trình:

Hi vọng các bạn khi đề xuất bài mới bài cần phải nổi bật rõ ứng dụng của hệ phương trình

Lời giải bài 7: Đặt $\sum_{i=1}^{n}a_{i},B=\sum_{i=1}^{n}b_{i}$

Sử dụng Cauchy và Schwarts $(A^2+b^2)=(\sum_{i=1}^{n}a_{i}A+\sum_{i=1}^{n}b_{i}B)^2=(\sum_{i=1}^{n}(a_{i}A+b_{i}B))^2=n\sum_{i=1}^{n}(a_{i}A+b_{i}B)^2\leqslant n(A^2\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}+2AB\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+B^2\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2})=n(A^2+B^2)=>A^2+B^2\leq n$

Điểm chung của bài toán 6 và 7 là đều sử dụng việc lập nhân tử Lagrange và các phương trình tìm điểm dừng 

Chẳng hạn bài toán số 6 ta sẽ ứng dụng như sau :

Bài toán được giải bằng cách lập nhân tử Lagrange :

$L=x^2y+y^2z+z^2z+\alpha (x+y+z)+\eta (x^2+y^2+z^2-6)$

Khi đó ta có hệ phương trình tìm điểm dừng $\left\{\begin{matrix}2xy+z^2+\alpha +2\eta x=0 \\ 2yz+x^2+\alpha +2\eta y=0 \\ 2xz+y^2+\alpha +2\eta z=0 \end{matrix}\right.$

Bằng cách cộng 3 pt lại rồi kết hợp với giả thiết x+y+z=0 ta tìm đc $\alpha =0$

Hệ viết lại thành $\frac{2xy+z^2}{x}=\frac{2yz+x^2}{y}=\frac{2xz+y^2}{z}=-2\eta$

Tính chất này giống với điều kiện để xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức Cauchy- Schwarts chính vì vậy mà ta nghĩ được lời giải như trên :D 

Bài toán 7 cũng sử dụng tương tự như vậy mà ta có cách giải giống bài bạn Dark Repusor 

Đây là phương pháp bất đẳng thức Cauchy- Schwarts kết hợp đạo hàm riêng :D 


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh