3 replies to this topic

[supernatural1]

Cho hai số thực x,y thuộc khoảng (0;2] và 2x+y lớn hơn hoặc bằng 2xy. Tìm GTLN của biểu thức:

$ P=x^{2}(x^{2}+1)+y^{2}(y^{2}+1) $

Edited by supernatural1, 20-06-2016 - 20:14.

[tritanngo99]

Cho hai số thực x,y thuộc khoảng (0;2] và 2x+y lớn hơn hoặc bằng 2xy. Tìm GTLN của biểu thức:

$ P=x^{2}(x^{2}+1)+y^{2}(y^{2}+1) $

Ta có: $2x+y\ge 2xy\implies \frac{1}{2x}+\frac{1}{y}\ge 1(1)$.

Xét $x\in (0;1],y\in (0;2]\implies (1)$ luôn đúng.

Khi đó: $P\le 1(1+1)+4(4+1)=22(1)$.

Xét $x\in (1;2],y\in (0;2]$.

Khi đó ta đặt: $a=\frac{1}{2x},b=\frac{1}{y}\implies a+b\ge 1$

$(a\in [\frac{1}{4};\frac{1}{2}),b\in [\frac{1}{2};+\infty))$.

Khi đó: $P=\frac{1}{4a^2}(\frac{1}{4a^2}+1)+\frac{1}{b^2}(\frac{1}{b^2}+1)$

Mà: $b\ge 1-a>0$.

Nên $P\le \frac{1}{4a^2}(\frac{1}{4a^2}+1)+\frac{1}{(1-a)^2}(\frac{1}{(1-a)^2}+1)=f(a) \forall a\in [\frac{1}{4};\frac{1}{2})$

Đến đây khảo sát hàm $f$ ta thu được:

$Maxf(a)=\frac{2020}{81}(2)$.

Từ $(1),(2)$ suy ra $MaxP=\frac{2020}{81}$

Dấu $=$ xảy ra tại $a=\frac{1}{4},b=\frac{3}{4}\iff x=2;y=\frac{4}{3}$.

*Nhận xét: Nếu bài này ta giữ nguyên điều kiện của x mà không giới hạn lại thì lúc này việc khảo sát hàm số ta không thể xác định được max*

Edited by tritanngo99, 21-06-2016 - 07:42.

[supernatural1]

Ta có: $2x+y\ge 2xy\implies \frac{1}{2x}+\frac{1}{y}\ge 1(1)$.

Xét $x\in (0;1],y\in (0;2]\implies (1)$ luôn đúng.

Khi đó: $P\le 1(1+1)+4(4+1)=22(1)$.

Xét $x\in (1;2],y\in (0;2]$.

Khi đó ta đặt: $a=\frac{1}{2x},b=\frac{1}{y}\implies a+b\ge 1$

$(a\in [\frac{1}{4};\frac{1}{2}),b\in [\frac{1}{2};+\infty))$.

Khi đó: $P=\frac{1}{4a^2}(\frac{1}{4a^2}+1)+\frac{1}{b^2}(\frac{1}{b^2}+1)$

Mà: $b\ge 1-a>0$.

Nên $P\le \frac{1}{4a^2}(\frac{1}{4a^2}+1)+\frac{1}{(1-a)^2}(\frac{1}{(1-a)^2}+1)=f(a) \forall a\in [\frac{1}{4};\frac{1}{2})$

Đến đây khảo sát hàm $f$ ta thu được:

$Maxf(a)=\frac{2020}{81}(2)$.

Từ $(1),(2)$ suy ra $MaxP=\frac{2020}{81}$

Dấu $=$ xảy ra tại $a=\frac{1}{4},b=\frac{3}{4}\iff x=2;y=\frac{4}{3}$.

*Nhận xét: Nếu bài này ta giữ nguyên điều kiện của x mà không giới hạn lại thì lúc này việc khảo sát hàm số ta không thể xác định được max*

khảo sát hàm f thế nào ạ

[tritanngo99]

khảo sát hàm f thế nào ạ

em tính f' rồi lập bbt là thấy ngay, anh đã làm thử rồi ko sai đâu