Chủ đề này có 2 trả lời

[supernatural1]

Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $ x^{4}+2x^{2}=y^{3} $

[Nam Duong]

Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $ x^{4}+2x^{2}=y^{3} $

$pt$ viết lại $(x^2+1)^2=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$ suy ra $y \ge -1$

$\ast$ lần lượt xét $y=-1,y==0,y=1$ nhận nghiệm $(x;y)(0;0)$

$\ast$ xét $y \ge 2$

đặt $d=GCD(y+1;y^2-y+1)$

nhận thấy $y^2-y+1=(y+1)^2-3(y+1)+3 \rightarrow d|3$

$\cdot d=1$ thì suy ra $y+1,y^2-y+1$ nguyên tố cùng nhau có tích là scp nên mỗi số này cũng là scp nhưng $(y-1)^2<y^2-y+1<y^2$ nên vô nghiệm

$\cdot d=3$ suy ra $x^2 \equiv -1\ (mod\ 3)$ không xảy ra với số nguyên

vậy $(x;y)(0;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 21-06-2016 - 21:10

[Zeref]

Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $ x^{4}+2x^{2}=y^{3} $

Nhận xét : $y \geq 0$

Đặt $t=x^2$

Biến đổi rồi xét delta ta được

$\Delta = 4+4y^3$

=> $\sqrt{\Delta}=2 \sqrt {y^3+1}$

Pt nhận nghiệm nguyên nên $(y+1)(y^2-y+1)$ phải là số chính phương

Nếu $y+1=y^2-y+1$ thì dễ dàng suy ra x=y=0

Nếu $y+1\neq y^2-y+1$ thì ta thấy $y^2-y+1>y+1 $ và tích 2 bt này lại là số chính phương nên $y^2-y+1$ chia hết cho y+1

   $\frac{y^2-y+1}{y+1}$

= $y-2 + \frac{3}{y+1}$

=> y+1 là Ư(3) => y=2 (loại) hoặc y=0 => x=0

Vậy pt có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;0)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 21-06-2016 - 21:43