Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $ x^{4}+2x^{2}=y^{3} $
Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $ x^{4}+2x^{2}=y^{3} $
#1
Đã gửi 21-06-2016 - 15:54
#2
Đã gửi 21-06-2016 - 21:10
Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $ x^{4}+2x^{2}=y^{3} $
$pt$ viết lại $(x^2+1)^2=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$ suy ra $y \ge -1$
$\ast$ lần lượt xét $y=-1,y==0,y=1$ nhận nghiệm $(x;y)(0;0)$
$\ast$ xét $y \ge 2$
đặt $d=GCD(y+1;y^2-y+1)$
nhận thấy $y^2-y+1=(y+1)^2-3(y+1)+3 \rightarrow d|3$
$\cdot d=1$ thì suy ra $y+1,y^2-y+1$ nguyên tố cùng nhau có tích là scp nên mỗi số này cũng là scp nhưng $(y-1)^2<y^2-y+1<y^2$ nên vô nghiệm
$\cdot d=3$ suy ra $x^2 \equiv -1\ (mod\ 3)$ không xảy ra với số nguyên
vậy $(x;y)(0;0)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 21-06-2016 - 21:10
- CaptainCuong, Tea Coffee và Sin99 thích
#3
Đã gửi 21-06-2016 - 21:42
Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $ x^{4}+2x^{2}=y^{3} $
Nhận xét : $y \geq 0$
Đặt $t=x^2$
Biến đổi rồi xét delta ta được
$\Delta = 4+4y^3$
=> $\sqrt{\Delta}=2 \sqrt {y^3+1}$
Pt nhận nghiệm nguyên nên $(y+1)(y^2-y+1)$ phải là số chính phương
Nếu $y+1=y^2-y+1$ thì dễ dàng suy ra x=y=0
Nếu $y+1\neq y^2-y+1$ thì ta thấy $y^2-y+1>y+1 $ và tích 2 bt này lại là số chính phương nên $y^2-y+1$ chia hết cho y+1
$\frac{y^2-y+1}{y+1}$
= $y-2 + \frac{3}{y+1}$
=> y+1 là Ư(3) => y=2 (loại) hoặc y=0 => x=0
Vậy pt có nghiệm duy nhất (x;y)=(0;0)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 21-06-2016 - 21:43
- Tea Coffee yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 9
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi HSG Toán 9 thành phố Đà Nẵng năm học 2022 - 2023Bắt đầu bởi vancongnam, 10-02-2023 học sinh giỏi, đà nẵng và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi HSG Toán 9 Thành phố Đà Nẵng 2021-2022Bắt đầu bởi narutosasukevjppro, 24-02-2022 đề thi, lớp 9 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
CMR: $ AI=\frac{1}{2}(AB+AC-BC) $Bắt đầu bởi supernatural1, 22-07-2019 lớp 9, thi vào chuyên và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Giải phương trình $x\sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{x-1}=x+1$Bắt đầu bởi nguyen minh hieu hp, 20-04-2019 giải phương trình, lớp 9 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi nguyen minh hieu hp, 18-11-2018 phương trình nghiệm nguyên, lớp 9 |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh