Chủ đề này có 3 trả lời

[JayVuTF]

Cho $x,y,z $ thuộc [0;2] thỏa mãn $x + y + z = 3 $.Tìm Max : 

 $$P = \dfrac{1}{x^2 + y^ 2 + 2} + \dfrac{1}{y^2 + z^ 2 + 2} + \dfrac{1}{z^2 + x^ 2 + 2} + \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}$$

[phamquanglam]

Cho $x,y,z $ thuộc [0;2] thỏa mãn $x + y + z = 3 $.Tìm Max : 

 $$P = \dfrac{1}{x^2 + y^ 2 + 2} + \dfrac{1}{y^2 + z^ 2 + 2} + \dfrac{1}{z^2 + x^ 2 + 2} + \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 22-06-2016 - 23:41

[tungteng532000]

Chả biết có đúng ko         

Bài này khá giống câu 10 trong đề đại học năm ngoái     

$P=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\sum \sqrt{xy}\leq \sum \frac{1}{2(xy+1)}+\sqrt{3(xy+yz+zx)}$

$\Rightarrow 3-2P\geq \sum \frac{xy}{xy+1}-2\sqrt{3(xy+yz+zx)}\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(xy+yz+zx)^{2}-(xy+yz+zx)}-2\sqrt{3(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{xy+yz+zx-1}-2\sqrt{3(xy+yz+zx)}$

Đặt $t=xy+yz+zx$

Ta đi tìm điều kiện để chặn 2 đầu của t.

+ $(x+y+z)^{2}=3^{2}=\sum \frac{1}{2}(x-y)^{2}+3(xy+yz+zx)\geq 3(xy+yz+zx)\Leftrightarrow xy+yz+zx\leq 3\Rightarrow t\leq 3$

 

+Xét: $(x-1)(y-1)(z-1)\geq 0\Leftrightarrow xyz+(x+y+z)-(xy+yz+zx)-1\geq 0\Leftrightarrow xyz\geq t-2$

Lại có: $(2-x)(2-y)(2-z)\geq 0\Leftrightarrow 8-4(x+y+z)+2(xy+yz+xz)-xyz\geq 0\Leftrightarrow 2t-4\geq xyz$

Từ 2 điều trên suy ra: $2t-4\geq t-2\Leftrightarrow t\geq 2$

 

Vậy xét hàm $f_{(t)}=\frac{t}{t-1}-2\sqrt{3t}$ trong khoảng $2\leq t \leq 3$

$\Rightarrow f_{(t)}^{'}=-(\frac{1}{(t-1)^{2}}+\sqrt{\frac{3}{t}})< 0$ với mọi $2\leq t \leq 3$

Nên xét bảng biến thiên thì 

$f_{(t)}\geq f_{(3)}=-\frac{9}{2}$

Hay $3-2P\geq -\frac{9}{2}\Leftrightarrow P\leq \frac{15}{4}$

Vậy $P_{max}=\frac{15}{4}\Leftrightarrow x=y=z=1$

Chổ này >= kiểu gì đó bạn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 22-06-2016 - 10:21

[thinhrost1]

Chả biết có đúng ko         

Bài này khá giống câu 10 trong đề đại học năm ngoái     

$P=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\sum \sqrt{xy}\leq \sum \frac{1}{2(xy+1)}+\sqrt{3(xy+yz+zx)}$

$\Rightarrow 3-2P\geq \sum \frac{xy}{xy+1}-2\sqrt{3(xy+yz+zx)}\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(xy+yz+zx)^{2}-(xy+yz+zx)}-2\sqrt{3(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{xy+yz+zx-1}-2\sqrt{3(xy+yz+zx)}$

Đặt $t=xy+yz+zx$

Ta đi tìm điều kiện để chặn 2 đầu của t.

+ $(x+y+z)^{2}=3^{2}=\sum \frac{1}{2}(x-y)^{2}+3(xy+yz+zx)\geq 3(xy+yz+zx)\Leftrightarrow xy+yz+zx\leq 3\Rightarrow t\leq 3$

 

+Xét: $(x-1)(y-1)(z-1)\geq 0\Leftrightarrow xyz+(x+y+z)-(xy+yz+zx)-1\geq 0\Leftrightarrow xyz\geq t-2$

Lại có: $(2-x)(2-y)(2-z)\geq 0\Leftrightarrow 8-4(x+y+z)+2(xy+yz+xz)-xyz\geq 0\Leftrightarrow 2t-4\geq xyz$

Từ 2 điều trên suy ra: $2t-4\geq t-2\Leftrightarrow t\geq 2$

 

Vậy xét hàm $f_{(t)}=\frac{t}{t-1}-2\sqrt{3t}$ trong khoảng $2\leq t \leq 3$

$\Rightarrow f_{(t)}^{'}=-(\frac{1}{(t-1)^{2}}+\sqrt{\frac{3}{t}})< 0$ với mọi $2\leq t \leq 3$

Nên xét bảng biến thiên thì 

$f_{(t)}\geq f_{(3)}=-\frac{9}{2}$

Hay $3-2P\geq -\frac{9}{2}\Leftrightarrow P\leq \frac{15}{4}$

Vậy $P_{max}=\frac{15}{4}\Leftrightarrow x=y=z=1$

Tại sao $(x-1)(y-1)(z-1) \geq 0$ ?