Cho $x>0$. Chứng minh rằng $\sqrt{\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}}\ge e^{\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^2}$
Cho $x>0$. Chứng minh rằng $\sqrt{\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}}\ge e^{\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^2}$
#1
Đã gửi 23-06-2016 - 16:59
#2
Đã gửi 23-06-2016 - 21:22
Cho $x>0$. Chứng minh rằng $\sqrt{\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}}\ge e^{\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^2}$
BĐT$<=>\ln (\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}})\geqslant \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$ $(*)$
Đặt $f(x)=\ln (\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}})- \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}$ $(x>0)$
Ta có: $f'(x)=\frac{x^2-1}{2x(x^2+1)}-\frac{4(x-1)}{(x+1)^3}=(x-1)[\frac{x+1}{2x(x^2+1)}-\frac{4}{(x+1)^3}]$
$f'(x)=0<=>x=1$ mà $f(x)$ đồng biến trên $x\in (0;\infty)$
Suy ra $f(x)\geqslant f(1)=0$ hay $\ln (\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}})- \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}\geqslant 0$
Do đó $(*)$ luôn đúng nên ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 23-06-2016 - 21:27
- thinhrost1 và Rantaro thích
#3
Đã gửi 24-06-2016 - 09:35
Ta có: $f'(x)=\frac{x^2-1}{2x(x^2+1)}-\frac{4(x-1)}{(x+1)^3}=(x-1)[\frac{x+1}{2x(x^2+1)}-\frac{4}{(x+1)^3}]$
$f'(x)=0<=>x=1$ mà $f(x)$ đồng biến trên $x\in (0;\infty)$
Suy ra $f(x)\geqslant f(1)=0$ hay $\ln (\sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}})- \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}\geqslant 0$
Do đó $(*)$ luôn đúng nên ta có đpcm
Đoạn này bạn làm có nhầm lẫn thì phải, đầu tiên cái $f'(x)$ đã khai triển ra hết nghiệm (kể cả nghiệm bội) đâu ? Với $f(x)$ không đồng biến trên $(0,\infty)$ mà ?
(Vì điểm 1 là điểm cực tiểu của hàm số).
Lẽ ra phải như thế này :
$$f'(x)= (x-1)\left[\frac{x+1}{2x(x^2+1)}-\frac{4}{(x+1)^3}\right]=\frac{(x-1)^5}{2x(x^2+1)(x+1)^3}$$
Có nghiệm là $1$ và nó biến thiên từ âm sang dương khi đi qua điểm $1$. Vậy $f(x)$ có cực tiểu khi $x=1$.
$\Rightarrow f(x)\geq f(1)=0$
- Minhnguyenthe333 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh