Chủ đề này có 1 trả lời

[leminhnghiatt]

Cho $a,b,c >0:a+b+c=1$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\dfrac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\dfrac{3}{4}(a+b)^2$$

[phamquanglam]

Cho $a,b,c >0:a+b+c=1$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\dfrac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\dfrac{3}{4}(a+b)^2$$

Xét: $\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}+5bc}\geq \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}+\frac{5}{4}(b+c)^{2}}=\frac{4a^{2}}{9(b+c)^{2}}$

CMTT: $\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}+5ca}\geq \frac{b^{2}}{(c+a)^{2}+\frac{5}{4}(c+a)^{2}}=\frac{4b^{2}}{9(c+a)^{2}}$

 

Ta có: $\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}+5bc}+\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}+5ca}\geq \frac{2}{9}.(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a})^{2}=\frac{2}{9}(\frac{a^{2}+b^{2}+c(a+b)}{(ab+c(a+b)+c^{2})})^{2}\geq \frac{2}{9}.(\frac{2(a+b)^{2}+4c(a+b)}{(a+b)^{2}+4c(a+b)+4c^{2}})^{2}$

Do $a+b+c=1$ 

Nên: $P\geq \frac{8}{9}(\frac{c-1}{c+1})^{2}-\frac{3}{4}(1-c)^{2}$

Xét hàm $f_{(c)}=\frac{8}{9}(\frac{c-1}{c+1})^{2}-\frac{3}{4}(1-c)^{2}$

Đạo hàm $f_{(c)}^{'}=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}$

Nhìn bảng biến thiên thì $f_{(c)}\geq f_{(\frac{1}{3})}=\frac{-1}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 25-06-2016 - 11:42