Tìm tất cả các số $n$ thỏa mãn,
$i, n=p_1.p_2...p_k \text{ trong đó}\ p_i \ \text{nguyên tố}\ \forall \ i=\overline{1,k}; p_i\neq p_j \forall \ i\neq j$
$ii, p_i\mid \frac{n}{p_i}+1 \ \forall i=\overline{1,k}$
Tìm tất cả các số $n$ thỏa mãn,
$i, n=p_1.p_2...p_k \text{ trong đó}\ p_i \ \text{nguyên tố}\ \forall \ i=\overline{1,k}; p_i\neq p_j \forall \ i\neq j$
$ii, p_i\mid \frac{n}{p_i}+1 \ \forall i=\overline{1,k}$
Dễ thấy n = 2 thỏa yêu cầu
Xét hệ phương trình đồng dư:
$\left\{\begin{matrix} a &\equiv \frac{n}{p1} &(modp1) \\ a &\equiv\frac{n}{p2} &(mod p2) \\ a &\equiv... &(modpi) \\ a &\equiv \frac{n}{pk} &(mod pk) \end{matrix}\right.$ (1) với $(pi,pj)=1$, $i\neq j$
Theo định lý phần dư Trung quốc thì hệ này có nghiệp duy nhất
Ta xét số $\frac{n}{pi}$ , rõ ràng $(\frac{n}{pi},pi)=1$ nên tồn tại số nguyên si sao cho S = si.$\frac{n}{pi}$ $\equiv$ 1 $(modpi)$.
Để thỏa yêu cầu đề bài thì si = -1
Theo công thức xác định nghiệm của hệ (1) thì a = $\sum_{i=1}^{k}\frac{n}{pi}.(-\frac{n}{pi})$ $\neq$ -1
Vậy n=2 là số duy nhất thỏa đề
p/s: không biết có đúng không, các bạn kiểm tra giùm mình!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alpha LogaE: 24-06-2016 - 22:19
Dễ thấy n = 2 thỏa yêu cầu
Xét hệ phương trình đồng dư:
$\left\{\begin{matrix} a &\equiv \frac{n}{p1} &(modp1) \\ a &\equiv\frac{n}{p2} &(mod p2) \\ a &\equiv... &(modpi) \\ a &\equiv \frac{n}{pk} &(mod pk) \end{matrix}\right.$ (1) với $(pi,pj)=1$, $i\neq j$
Theo định lý phần dư Trung quốc thì hệ này có nghiệp duy nhất
Ta xét số $\frac{n}{pi}$ , rõ ràng $(\frac{n}{pi},pi)=1$ nên tồn tại số nguyên si sao cho S = si.$\frac{n}{pi}$ $\equiv$ 1 $(modpi)$.
Để thỏa yêu cầu đề bài thì si = -1
Theo công thức xác định nghiệm của hệ (1) thì a = $\sum_{i=1}^{k}\frac{n}{pi}.(-\frac{n}{pi})$ $\neq$ -1
Vậy n=2 là số duy nhất thỏa đề
p/s: không biết có đúng không, các bạn kiểm tra giùm mình!
Tại sao $a = \sum_{i=1}^{k}\frac{n}{pi}.(-\frac{n}{pi}) \not \equiv -1 (mod p_i)$ ?
Trong khi $\frac{n}{pi} \equiv -1(mod p_i)$ và $ \frac{n}{p_j} \equiv 0( mod p_i) (i \ne j)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 25-06-2016 - 06:43
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh