Chủ đề này có 2 trả lời

[baopbc]

Tìm tất cả các số $n$ thỏa mãn,

$i, n=p_1.p_2...p_k \text{ trong đó}\ p_i \ \text{nguyên tố}\ \forall \ i=\overline{1,k}; p_i\neq p_j \forall \ i\neq j$

$ii, p_i\mid \frac{n}{p_i}+1 \ \forall i=\overline{1,k}$

[Alpha LogaE]

Dễ thấy n = 2 thỏa yêu cầu

Xét hệ phương trình đồng dư:

$\left\{\begin{matrix} a &\equiv \frac{n}{p1} &(modp1) \\ a &\equiv\frac{n}{p2} &(mod p2) \\ a &\equiv... &(modpi) \\ a &\equiv \frac{n}{pk} &(mod pk) \end{matrix}\right.$ (1) với $(pi,pj)=1$, $i\neq j$

Theo định lý phần dư Trung quốc thì hệ này có nghiệp duy nhất

Ta xét số $\frac{n}{pi}$ , rõ ràng $(\frac{n}{pi},pi)=1$ nên tồn tại số nguyên si sao cho S = si.$\frac{n}{pi}$ $\equiv$ 1 $(modpi)$.

Để thỏa yêu cầu đề bài thì si = -1 

Theo công thức xác định nghiệm của hệ (1) thì a = $\sum_{i=1}^{k}\frac{n}{pi}.(-\frac{n}{pi})$ $\neq$ -1

Vậy n=2 là số duy nhất thỏa đề

p/s: không biết có đúng không, các bạn kiểm tra giùm mình!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alpha LogaE: 24-06-2016 - 22:19

[thinhrost1]

Dễ thấy n = 2 thỏa yêu cầu

Xét hệ phương trình đồng dư:

$\left\{\begin{matrix} a &\equiv \frac{n}{p1} &(modp1) \\ a &\equiv\frac{n}{p2} &(mod p2) \\ a &\equiv... &(modpi) \\ a &\equiv \frac{n}{pk} &(mod pk) \end{matrix}\right.$ (1) với $(pi,pj)=1$, $i\neq j$

Theo định lý phần dư Trung quốc thì hệ này có nghiệp duy nhất

Ta xét số $\frac{n}{pi}$ , rõ ràng $(\frac{n}{pi},pi)=1$ nên tồn tại số nguyên si sao cho S = si.$\frac{n}{pi}$ $\equiv$ 1 $(modpi)$.

Để thỏa yêu cầu đề bài thì si = -1 

Theo công thức xác định nghiệm của hệ (1) thì a = $\sum_{i=1}^{k}\frac{n}{pi}.(-\frac{n}{pi})$ $\neq$ -1

Vậy n=2 là số duy nhất thỏa đề

p/s: không biết có đúng không, các bạn kiểm tra giùm mình!

Tại sao $a = \sum_{i=1}^{k}\frac{n}{pi}.(-\frac{n}{pi}) \not \equiv -1 (mod p_i)$ ?

Trong khi $\frac{n}{pi} \equiv -1(mod p_i)$ và $ \frac{n}{p_j} \equiv 0( mod p_i) (i \ne j)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 25-06-2016 - 06:43