Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên AB lấy M sao cho MB=2MA. Gọi N là trung điem BC. Gọi G là giao NM và AC. Qua N kẻ đuong thẳng vuông góc với MC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
misakichan

misakichan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên AB lấy M sao cho MB=2MA. Gọi N là trung điem BC. Gọi G là giao NM và AC. Qua N kẻ đuong thẳng vuông góc với MC tại E căt AC tại K. Gọi H là giao điểm MK và GE. Chứng minh GE=BC và HM=HE

#2
doremon01

doremon01

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Ta sẽ chứng minh AM=AK

Đặt $AB=AC=3a$ thì $BC=3a\sqrt{2}$

$CM^2=AM^2+AC^2=a^2+9a^2=10a^2\Leftrightarrow CM=a\sqrt{10}$

Gọi D là điểm trên AC sao cho $AD=AM=a$; $E'=CM\cap ND$

Thi $MD//BC;MD=\frac{1}{3}BC$

Suy ra: $\frac{MD}{NC}=\frac{2}{3}$

Theo định lí Thales: 

$\frac{ME'}{E'C}=\frac{E'D}{E'N}=\frac{MD}{NC}=\frac{2}{3}$

$\frac{ME'}{E'C}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{ME'}{MC}=\frac{2}{5}\Leftrightarrow ME'=\frac{2a\sqrt{10}}{5}; CE'=\frac{3a\sqrt{10}}{5}$

$\Rightarrow CE'.CM=CD.CA(=6a^2)$ nên Tứ giác $MADE'$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CE'D}=90^o\Rightarrow CM \perp ND$ Mà $CM \perp NK$ nên $D\equiv K; E\equiv E'$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta BCA$ với cát tuyến NMG ta có: 

$\frac{CN}{NB}.\frac{BM}{MA}.\frac{GA}{GC}=1 \Leftrightarrow AG=GC$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta MKC$ với cát tuyến EHG ta có:

$\frac{CE}{EM}.\frac{MH}{HK}.\frac{GK}{GC}=1\Leftrightarrow \frac{\frac{3a\sqrt{10}}{5}}{\frac{2a\sqrt{10}}{5}}.\frac{MH}{HK}.\frac{4a}{6a}=1\Leftrightarrow MH=HK$

$\Delta EMK: \widehat{MEK}=90^o;HM=HK \Rightarrow EH=HM=HK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta GEC$ với cát tuyến KHM ta có: 

$\frac{CK}{KG}.\frac{GH}{HE}.\frac{ME}{MC} =1\Leftrightarrow \frac{2a}{4a}.\frac{GH}{HE}.\frac{2}{5}=1\Leftrightarrow \frac{GH}{HE}=5\Leftrightarrow \frac{GE}{HE}=6\Leftrightarrow GE=6HE=6.\frac{a\sqrt{2}}{2}=3a\sqrt{2}=BC$

Vậy $GE=BC; HE=HM$

 

Hình gửi kèm

  • untitledf.JPG


#3
misakichan

misakichan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Ta sẽ chứng minh AM=AK

Đặt $AB=AC=3a$ thì $BC=3a\sqrt{2}$

$CM^2=AM^2+AC^2=a^2+9a^2=10a^2\Leftrightarrow CM=a\sqrt{10}$

Gọi D là điểm trên AC sao cho $AD=AM=a$; $E'=CM\cap ND$

Thi $MD//BC;MD=\frac{1}{3}BC$

Suy ra: $\frac{MD}{NC}=\frac{2}{3}$

Theo định lí Thales: 

$\frac{ME'}{E'C}=\frac{E'D}{E'N}=\frac{MD}{NC}=\frac{2}{3}$

$\frac{ME'}{E'C}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{ME'}{MC}=\frac{2}{5}\Leftrightarrow ME'=\frac{2a\sqrt{10}}{5}; CE'=\frac{3a\sqrt{10}}{5}$

$\Rightarrow CE'.CM=CD.CA(=6a^2)$ nên Tứ giác $MADE'$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CE'D}=90^o\Rightarrow CM \perp ND$ Mà $CM \perp NK$ nên $D\equiv K; E\equiv E'$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta BCA$ với cát tuyến NMG ta có: 

$\frac{CN}{NB}.\frac{BM}{MA}.\frac{GA}{GC}=1 \Leftrightarrow AG=GC$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta MKC$ với cát tuyến EHG ta có:

$\frac{CE}{EM}.\frac{MH}{HK}.\frac{GK}{GC}=1\Leftrightarrow \frac{\frac{3a\sqrt{10}}{5}}{\frac{2a\sqrt{10}}{5}}.\frac{MH}{HK}.\frac{4a}{6a}=1\Leftrightarrow MH=HK$

$\Delta EMK: \widehat{MEK}=90^o;HM=HK \Rightarrow EH=HM=HK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta GEC$ với cát tuyến KHM ta có: 

$\frac{CK}{KG}.\frac{GH}{HE}.\frac{ME}{MC} =1\Leftrightarrow \frac{2a}{4a}.\frac{GH}{HE}.\frac{2}{5}=1\Leftrightarrow \frac{GH}{HE}=5\Leftrightarrow \frac{GE}{HE}=6\Leftrightarrow GE=6HE=6.\frac{a\sqrt{2}}{2}=3a\sqrt{2}=BC$

Vậy $GE=BC; HE=HM$

bạn còn cách nào khác ko? thực ra nhiều kiến thức ở đây mình chưa học






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh