Chủ đề này có 1 trả lời

[cristianoronaldo]

Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:
$\sum \frac{a}{b}\geq \sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a^2}$

[phamquanglam]

Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:
$\sum \frac{a}{b}\geq \sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a^2}$

1.

Chứng minh vế này trước: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}$

*Bổ đề:

Với $a,b,c,$ dương thì: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Thật vậy:

Bất đẳng thức tương đương: $\sum (\frac{a}{b})^{2}+2\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{c}\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b})^{2}+\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}$

Lại có:

$((\frac{a}{b})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}+(\frac{c}{a})^{2})(1+1+1)\geq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\Leftrightarrow (\frac{a}{b})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}+(\frac{c}{a})^{2})\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\geq 3$

Cộng lại ta có điều phải chứng minh     

*Áp dụng:

Cauchy-scharw:

$(\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}})^{2}\leq (2a+2b+2c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\leq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\Leftrightarrow \sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\leq \sum \frac{a}{b}$

 

2.

Dùng AM-GM:

$\sqrt{\frac{b+c}{2a}}\leq \frac{\frac{b+c}{2a}+1}{2}=\frac{2a+b+c}{4a}\Rightarrow \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq \frac{4a}{2a+b+c}$

Mà: $\sum \frac{4a}{2a+b+c}=\sum \frac{4a^{2}}{2a^{2}+ab+ac}\geq \frac{(2(a+b+c))^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)}\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{4(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Vậy ta có: $\sum \sqrt{\frac{2a}{b+c}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 26-06-2016 - 21:43