Chủ đề này có 6 trả lời

[baopbc]

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 5 tháng 6 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới

 

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Một đường thẳng đi qua $A$ cắt $DE,DF$ tại $M,N$ sao cho đường tròn đường kính $MN$ cắt đoạn $BC$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ tiếp xúc $(I)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 26-06-2016 - 22:43

[baopbc]

Lời giải. Để ý $D(BA,FA)=-1\Longleftrightarrow D(PA,NM)=-1$ mặt khác chú ý $\angle MPN=90^\circ$ nên $PM$ là phân giác $\angle APQ$. Tương tự thì $QM$ là phân giác $\angle AQP$

$\implies M$ là tâm nội tiếp tam giác $APQ$. Mặt khác để ý $DE$ đi qua $X$ và $(I)$ tiếp xúc $CB,CA$ tại $D,E$ nên theo bổ đề Sayawama dạng đảo thì $(I)$ tiếp xúc $(APQ).\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 27-06-2016 - 00:04

[quanghung86]

Cám ơn Bảo, lời giải rất chuẩn, bài toán này có nhiều phát triển hay, sau đây là một ví dụ,

 

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $P$ là một điểm sao cho đẳng giác của $P$ nằm trên $OI$. $PA$ cắt $DE,DF$ tại $M_a,N_a$. Đường tròn đường kính $M_aN_a$ cắt $BC$ tại $P_a,Q_a$.

 

a) Chứng minh rằng đường tròn $(AP_aQ_a)$ tiếp xúc $(I)$ tại $X$.

 

b) Tương tự có $Y,Z$. Chứng minh rằng $AX,BY,CZ$ đồng quy,

 

Trường hợp đặc biệt khi $P=I$ thì điểm đồng quy của $AX,BY,CZ$ cũng nằm trên đường thẳng $OI$.

[baopbc]

Một bài toán khá thú vị xung quanh cấu hình của bài toán gốc!

 

Bài toán. Cho tam giác $ABC$, tâm nội tiếp $I.(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $D,E,F$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $DE,DF$ theo thứ tự tại $M,N$. Đường tròn $(MN)$ cắt $BC$ tại $P,Q$.

a, Chứng minh rằng $(APQ)$ tiếp xúc $(I)$ tại $R$.

b, $F_eR$ cắt $DE,DF$ theo thứ tự tại $M',N'$. Đường tròn $(M'N')$ cắt $BC$ tại $P',Q'$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của $(AP'Q')$ và $(I)$ chia đôi $BC$

Lời giải bài toán có thể tham khảo lời giải của yetti tại đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 06-07-2016 - 19:18
Up link lời giải

[quanghung86]

Cám ơn Bảo, Long đã đưa lời giải bài cho bài mở rộng trên ở đây http://artofproblems...c6t48f6h1263262

 

Xung quanh bài gốc và mở rộng có nhiều điều thú vị lắm !

[cleverboy]

Một lời giải thuần túy cho bài toán của tuần 5 tháng 6 năm 2016.

[quanghung86]

Lời giải cấp 2 này rất xuất sắc , thầy đã không nghĩ rằng bài gốc và mở rộng này có thể giải cách cấp 2 hoặc không dùng bổ đề.