Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

JBMO 2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 IMOer

IMOer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-06-2016 - 15:30

JBMO 2016

(Junior Balkan Mathematical Olympiad 2016)

Ngày thi: 26.06.2016

 

Bài 1: Cho hình thang $ABCD$ có $AB\parallel CD,\ AB>CD$ ngoại tiếp một đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với các đường thẳng $AB,\ AC$ lần lượt tại $M,\ N$. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp hình thang $ABCD$ nằm trên đường thẳng $MN$.

 

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\[\frac{8}{{{\left( a+b \right)}^{2}}+4abc}+\frac{8}{{{\left( b+c \right)}^{2}}+4abc}+\frac{8}{{{\left( c+a \right)}^{2}}+4abc}+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}\]

 

Bài 3: Tìm tất cả các bộ số nguyên $\left( a,b,c \right)$ sao cho số $N=\dfrac{\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)}{2}+2$ là luỹ thừa của $2016$.

 

Bài 4: Một bảng $5\times 5$ được gọi là tầm thường nếu mỗi ô vuông chứa 1 trong 4 số thực dương phân biệt và với mọi bảng con $2\times 2$ thì mỗi số xuất hiện đúng 1 lần. Tổng của tất cả các số của 1 bảng tầm thường được gọi là tổng của bảng. Với 4 số bất kỳ, ta xây dựng tất cả các bảng tầm thường có thể, tính tổng của các bảng đó và đếm số giá trị phân biệt nhận được. Xác định giá trị lớn nhất có thể có của số lượng giá trị đó.



#2 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 27-06-2016 - 15:50

Bài 1. Gọi $M',N'$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $ACD$ với $CD,CA$. Theo định lí $Pithot$ dễ suy ra $N\equiv N'$. 

Mặt khác do $ABCD$ là hình thang nên $\angle BAC=\angle ACD\implies M,N,M'$ thẳng hàng.

Vậy ta chỉ cần chứng minh $MM'$ đi qua $I$

Gọi $E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $AB,CD$. Theo định lí $Pithot$ và hệ thức của đường tròn nội tiếp dễ suy ra $EM=FM'\implies MM'$ đi qua $I.\blacksquare$

Post 235.png



#3 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-06-2016 - 15:50

Bài 2. Dễ dàng chứng minh được $(a+3)^{2}\geq 8a+8$ 

Ta có $\frac{8}{(a+b)^{2}+4abc}\geq \frac{8}{(a+b)^{2}+c(a+b)^{2}}=\frac{64}{(a+b)^{2}(c+1)8}\geq \frac{64}{(a+b)^{2}(a+3)^{2}}$

Lai có $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (a+b)^{2}\frac{1}{4}$

Đến đây sử dụng $AM-GM$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 27-06-2016 - 15:52


#4 JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:Manga, Music

Đã gửi 27-06-2016 - 17:43

Bài 5: Ta gọi $1$ bảng đặc biệt nếu như trong tất cả các hàng hoặc tất cả các cột, mỗi hàng hoặc cột chỉ xuất hiện đúng $2$ số khác nhau. Ta sẽ chứng minh rằng $1$ bảng thoả mãn đề bài khi và chỉ khi nó là bảng đặc biệt mà $2$ hàng hoặc $2$ cột liên tiếp mà mỗi hàng hoặc cột trong $2$ hàng hoặc cột đó chứa đúng $2$ số khác nhau chứa cả $4$ số phân biệt .

- Nếu không tồn tại một hàng nào mà không chứa $3$ số liên tiếp đôi một phân biệt thì bảng đó là bảng đặc biệt

-Nếu như tồn tại $3$ số liên tiếp trong $1$ hàng đôi một phân biệt giả sử là $a,b,c$ thì dễ dàng thấy rằng lúc đó tất cả các cột đều chứa không quá $2$ số phân biệt, vì vậy bảng đó là bảng đặc biệt.

Ngược lại, dễ thấy các bảng đặc biệt như trên là bảng thoả mãn đề bài. Mặt khác với $4$ số $a,b,c,d$ bất kì thì trong $1$ bảng đặc biệt bất kì có $3$ hàng hoặc cột xuất hiện đúng $2$ số khác nhau, $2$ hàng hoặc cột còn lại xuất hiện đúng $2$ số còn lại nên số cách hoán vị thoả mãn là $2^{5}C_{4}^{2}\textrm{}=192$

Nếu chọn $a,b,c,d$ sao cho giá trị tuyệt đối hiệu $2$ số bất kì đủ lớn thì dấu bằng xảy ra


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 27-06-2016 - 17:44


#5 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 27-06-2016 - 18:36

Lời giải tại đây.

File gửi kèm



#6 audreyrobertcollins

audreyrobertcollins

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-06-2016 - 19:45

thinhrost1 cứ làm mất hứng của mọi người 

lần sau đang giải muộn muộn thôi nhé



#7 ducthang0701

ducthang0701

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Tài liệu chiến tranh thế giới ,Khoa học tự nhiên vô tận, anime/...

Đã gửi 28-06-2016 - 10:37

đây là đề giành cho lớp mấy đây nhỉ



#8 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 28-06-2016 - 17:31

đây là đề giành cho lớp mấy đây nhỉ

Junior tức là đề cấp 2 đó bạn.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#9 lamgiaovien2

lamgiaovien2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Thái Nguyên
  • Sở thích:Parkour

Đã gửi 28-06-2016 - 18:40

Đề cấp 2 mà bài bất khó vậy


smt


#10 ducthang0701

ducthang0701

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Tài liệu chiến tranh thế giới ,Khoa học tự nhiên vô tận, anime/...

Đã gửi 29-06-2016 - 20:50

đề cấp 2 là thi gì ,ở đâu vậy nhỉ






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh