Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$. Tìm $Max$: $5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Kira Tatsuya

Kira Tatsuya

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 27-06-2016 - 17:27

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$. Tìm $Max$:

$5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3)$


----HIKKIGAYA HACHIMAN----

"MỘT THẾ GIỚI MÀ CHẲNG AI TỔN THƯƠNG ...KHÔNG HỀ TỒN TẠI"


#2 babylearnmathmv

babylearnmathmv

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:học toán vs ngắm hót gơn

Đã gửi 27-06-2016 - 18:48

dồn biến đón chào :)



#3 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-06-2016 - 19:55

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$. Tìm $Max$:

$5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3)$

 

Giả sử $c = \min\{a,b,c\}$ khi đó

\[5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3)-1 = -2\left(1 -3\sum bc\right)c - 2(1-3c)(a-b)^2 \leqslant 0.\]

Cho nên

\[5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3) \leqslant 1.\]

Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là $1.$ Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi ba biến bằng nhau.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#4 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 03-07-2016 - 20:31

Không mất tổng quát giả sử $a=min[a;b;c]\Rightarrow a\leq \frac{1}{3}$

BĐT tương đương với: 

$5[a^2+(b+c)^2-2bc]\leq 6[a^3+(b+c)^3-3bc(b+c)]+1$

$\Leftrightarrow 5[a^2+(1-a)^2-2bc]\leq 6[a^3+(1-a)^3-3bc(1-a)]+1$

$\Leftrightarrow (9a-4)bc+(2a-1)^2\geq 0$

Đặt: $t=bc$ 

$0< t\leq (\frac{b+c}{2})^2=(\frac{1-a}{2})^2$

Vậy ta chứng minh: $f(t)=(9t-4)t+(2a-1)^2\geq 0,\forall t\epsilon [0;(\frac{1-a}{2})^2]$

Do f(t) nghịch biến nên $f(t)\geq f((\frac{1-a}{2})^2)=\frac{1}{4}a(3a-1)^2\geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh