Chủ đề này có 3 trả lời

[Kira Tatsuya]

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$. Tìm $Max$:

$5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3)$

[babylearnmathmv]

dồn biến đón chào

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$. Tìm $Max$:

$5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3)$

 

Giả sử $c = \min\{a,b,c\}$ khi đó

\[5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3)-1 = -2\left(1 -3\sum bc\right)c - 2(1-3c)(a-b)^2 \leqslant 0.\]

Cho nên

\[5(a^2+b^2+c^2)-6(a^3+b^3+c^3) \leqslant 1.\]

Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là $1.$ Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi ba biến bằng nhau.

[Baoriven]

Không mất tổng quát giả sử $a=min[a;b;c]\Rightarrow a\leq \frac{1}{3}$

BĐT tương đương với: 

$5[a^2+(b+c)^2-2bc]\leq 6[a^3+(b+c)^3-3bc(b+c)]+1$

$\Leftrightarrow 5[a^2+(1-a)^2-2bc]\leq 6[a^3+(1-a)^3-3bc(1-a)]+1$

$\Leftrightarrow (9a-4)bc+(2a-1)^2\geq 0$

Đặt: $t=bc$ 

$0< t\leq (\frac{b+c}{2})^2=(\frac{1-a}{2})^2$

Vậy ta chứng minh: $f(t)=(9t-4)t+(2a-1)^2\geq 0,\forall t\epsilon [0;(\frac{1-a}{2})^2]$

Do f(t) nghịch biến nên $f(t)\geq f((\frac{1-a}{2})^2)=\frac{1}{4}a(3a-1)^2\geq 0$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{3}$