Cho a,b,c là 3 số thực không âm thỏa mãn: ab+bc+ac=3. Tìm min:
$\sum \frac{1}{a^{2}+1}$
Tìm min: $\sum \frac{1}{a^{2}+1}$
Bắt đầu bởi audreyrobertcollins, 27-06-2016 - 22:23
cho ab c là 3 số thực không
#2
Đã gửi 29-06-2016 - 10:29
kienvuhoang
-
- Thành viên
-
- 202 Bài viết
Thượng sĩ
Gia su c={a;b;c}$ab\geq 1$
Ta co:$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}-\frac{2}{ab+1}
=\frac{(a-b)^{2}(ab-1)}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)(ab+1)}\geq 0
\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}\geq \frac{2}{ab+1}$
Ta can chung minh
$\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}
\Leftrightarrow c(a+b+c-3abc)\geq 0
\Leftrightarrow c[(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc]\geq 0$(TRUE)
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$
Dang thuc xay ra $\Leftrightarrow (a;b;c)=(1;1;1);(\sqrt{3};\sqrt{3};0)$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cho ab, c là 3 số thực không
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
