Chủ đề này có 2 trả lời

[Math Master]

1,Chứng minh với mọi a,b > 0 ta luôn có

$\frac{1}{(a+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^2} \geq \frac{1}{ab+1}$

2, Chứng minh

$\sqrt{\frac{a+b}{c}} + \sqrt{\frac{b+c}{a}} + \sqrt{\frac{c+a}{b}} \geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}} + \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 28-06-2016 - 11:00

[thuylinhnguyenthptthanhha]

 

2, Chứng minh

$\sqrt{\frac{a+b}{c}} + \sqrt{\frac{b+c}{a}} + \sqrt{\frac{c+a}{b}} \geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}} + \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}})$

A/d $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)},$ ta có:

$VT\geq \Sigma [\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}})]=\Sigma [\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}})]\geq \Sigma \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq \Sigma \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{2(b+c)}}=2(\Sigma \sqrt{\frac{c}{a+b}})$

$\rightarrow $ đpcm!

[audreyrobertcollins]

bài 1 đầu tiên bạn biến đổi tương đương sau đó bạn sẽ phải chứng minh $b^{3}a+a^{3}b+1\geq 2ab+(ab)^{2}$

đến đây sử dụng am-gm$\frac{b^{3}a+a^{3}b}{2}\geq (ab)^{2}$ và$\frac{a^{3}b}{2}+\frac{b^{3}a}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 2ab$

dấu bằng xảy ra khi a=b=1