Chủ đề này có 1 trả lời

[thinhnarutop]

Cho x,y,z là các số thực thuộc đoạn [-1;1] và thỏa mãn điều kiện $x+y+z+xyz=0$

Chứng minh rằng $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}\leq 3$

[hoaichung01]

Cho x,y,z là các số thực thuộc đoạn [-1;1] và thỏa mãn điều kiện $x+y+z+xyz=0$

Chứng minh rằng $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}\leq 3$

+ $x+y+x\leq 0 ta có \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\sqrt{z+1}\leq \sqrt{3(z+y+z+3)}\leq 3$

+$x+y+z> 0\Rightarrow xyz< 0$

giả sử z<0 => x,y thuộc đoạn$\left \{ 0 ,\right 1\}$

=> $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}\leq \sqrt{2x+2y+4}+\sqrt{z+1}$

nên ta cần chứng minh $\sqrt{2x+2y+4}+\sqrt{z+1}\leq 3\Leftrightarrow \frac{2x+2y}{2+\sqrt{2x+2y+4}}\leq \frac{-z}{1+\sqrt{z+1}}\Leftrightarrow \frac{-2z(xy+1)}{2+\sqrt{2x+2y+4}}\leq \frac{-z}{1+\sqrt{z+1}}\Leftrightarrow 2xy+2(1+xy)\sqrt{z+1}\leq \sqrt{2x+2y+4}\Leftrightarrow 2xy+2(1+xy)\sqrt{1+\frac{(1-x)(1-y)}{1+xy}}\leq \sqrt{2x+2y+4}\Leftrightarrow xy +\sqrt{(1-x)(1-y)(1+xy)}\leq \sqrt{1+\frac{x+y}{2}}$ 

ta lại có $xy +\sqrt{(1-x)(1-y)(1+xy)}\leq \sqrt{1+xy-y}\leq 1\leq \sqrt{1+\frac{x+y}{2}}$

=>đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaichung01: 29-06-2016 - 08:49